На одном из этапов Всероссийской олимпиады школьников по математике была предложена следующая задача.

Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказать:   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Представим любой из множителей в левой части неравенства (например, первый) в виде суммы:

1 + a = 2 − (b + c) = (1 − b) + (1 − c)

Воспользуемся теперь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел:

½ ((1 − b) + (1 − c)) ≥ √((1 − b)·(1 − c)), откуда   (1 − b) + (1 − c) = 1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))

Циклически переставляя переменные, получим систему из трёх неравенств:

{1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))
{1 + b ≥ 2·√((1 − a)·(1 − c))
{1 + c ≥ 2·√((1 − b)·(1 − b))

Перемножая почленно неравенства составленной нами системы, получим:

(1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·√(((1 − a)·(1 − b)·(1 − c))²)

или   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Исходное неравенство доказано.

Решим квадратное тригонометрическое неравенство:

sin²(ˣ/₂) < ¾

Первый способ

Извлечём квадратный корень из левой и правой частей неравенства.

|sin(ˣ/₂)| < ½·√3

½·√3 < sin(ˣ/₂) < ½·√3

−π/3 + π·n < ˣ/₂ < π/3 + π·n

−2·π/3 + 2·π·n < x < 2·π/3 + 2·π·n;   n ∈ ℤ

Второй способ

Воспользуемся формулой понижения степени.

(1 − cos x)/2 < ¾

1 − cos x < ³/₂

cos x > 1 − ³/₂

cos x > ⁻½

−2·π/3 + 2·π·n < x < 2·π/3 + 2·π·n;   n ∈ ℤ

За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.

Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин