Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка

x·y' + y = y²

Решение этого уравнения я нашёл в интернете, но оно мне не понравилось. Вот оно:

На одном из этапов Всероссийской олимпиады школьников по математике была предложена следующая задача.

Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказать:   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Представим любой из множителей в левой части неравенства (например, первый) в виде суммы:

1 + a = 2 − (b + c) = (1 − b) + (1 − c)

Воспользуемся теперь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел:

½ ((1 − b) + (1 − c)) ≥ √((1 − b)·(1 − c)), откуда   (1 − b) + (1 − c) = 1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))

Циклически переставляя переменные, получим систему из трёх неравенств:

{1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))
{1 + b ≥ 2·√((1 − a)·(1 − c))
{1 + c ≥ 2·√((1 − b)·(1 − b))

Перемножая почленно неравенства составленной нами системы, получим:

(1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·√(((1 − a)·(1 − b)·(1 − c))²)

или   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Исходное неравенство доказано.

Объём усеченной пирамиды — полезная формула, которую знать необходимо для решения, например, этой задачи:

Основаниями правильной усечённой пирамиды служат квадраты со сторонами равными √8 и √50. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости основания под углами 45 градусов.
Найти объём пирамиды.

Решение смотрите по ссылке: http://znatok.wordpress.com/2010/07/11/usech-piramida/

Решим тригонометрическое уравнение

sin²x + cos²(2·x) + sin²(3·x) = ³/₂

Воспользуемся сперва формулами понижения степени.

½(1 − cos(2·x)) + ½(1 + cos(4·x)) +

+ ½(1 − cos(6·x)) = ³/₂

Домножим теперь обе части уравнения на 2 и приведём подобные слагаемые:

сos(6·x) + cos(2·x) − cos(4·x) = 0

Для первых двух слагаемых применим формулу суммы косинусов:

2·cos(4·x)·cos(2·x) − cos(4·x) = 0

Разложим левую часть уравнения на множители:

cos(4·x)·(cos(2·x) − ½) = 0

Приравнивая каждый из множителей к нулю, получим и решим два уравнения:

1. cos(4·x) = 0

   4·x = π/₂ + π·k = (2·k + 1)·π/₂

   x = (2·k + 1)·π/₈;   k ∈ ℤ

2. cos(2·x) = ½

   2·x = ±π/₃ + 2·π·n = (6·n ± 1)·π/₃

   x = (6·n ± 1)·π/₆;   n ∈ ℤ

Объединим найденные решения.

Ответ:   x = {(2·k + 1)·π/₈} ∪ {(6·n ± 1)·π/₆};   k, n ∈ ℤ

Решим систему тригонометрических уравнений

{x − y = π/3 

{cos x + cos y = ³/₂

Применим подстановку

{(x + y)/2 = α

{(x − y)/2 = π/6

Тогда

{x = α + π/6

{y = α − π/6

Получим:

cos(α + π/6) + cos(α − π/6) = ³/₂

Воспользуемся теперь формулой суммы косинусов:

cos(α + β) + cos(α + β) = 2·cos α·cos β

Тогда

cos(α + π/6) + cos(α − π/6) = 2·cos(π/6)·cos α =

= 2·√3/2·cos α = √3·cos α = ³/₂

cos α = √3/2

α = ±π/6 + 2·π·n

{x = α + π/6 = π/6 ± π/6 + 2·π·n

{y = α − π/6 = π/6 ± −π/6 + 2·π·n

{x = (1 ± 1)·π/6 + 2·π·n

{y = −(1 ± 1)·π/6 + 2·π·n

Решения системы

n ∈ ℤ

 За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.

Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин

Решим квадратное тригонометрическое неравенство:

sin²(ˣ/₂) < ¾

Первый способ

Извлечём квадратный корень из левой и правой частей неравенства.

|sin(ˣ/₂)| < ½·√3

½·√3 < sin(ˣ/₂) < ½·√3

−π/3 + π·n < ˣ/₂ < π/3 + π·n

−2·π/3 + 2·π·n < x < 2·π/3 + 2·π·n;   n ∈ ℤ

Второй способ

Воспользуемся формулой понижения степени.

(1 − cos x)/2 < ¾

1 − cos x < ³/₂

cos x > 1 − ³/₂

cos x > ⁻½

−2·π/3 + 2·π·n < x < 2·π/3 + 2·π·n;   n ∈ ℤ

За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.

Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин

Найти частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

y″ − 4·y′ + 4·y = e³ˣ   y(0) = 0;   y′(0) = 1

Решение дифференциального уравнения ищем в виде:   y = y₀ + y₁, где

y₀ — общее решение однородного уравнения,

y₁ — одно из частных решений неоднородного уравнения.

Характеристический многочлен   k² − 4·k + 4 = (k − 2)² = 0   имеет действительный двухкратный корень   k₁ = k₂ = 2

Общее решение однородного уравнения   y₀ = (C₁·x + C₂)·e²ˣ.

C₁, C₂ — постоянные интегрирования.

Одно из частных решений неоднородного уравнения найдём методом неопределённых коэффициентов Лагранжа.

Пусть y₁ = A·e³ˣ. Тогда y₁′ = 3·A·e³ˣ = 3·y₁,   y₁″ = 3²·y₁ = 9·y₁.

y₁″ − 4·y₁′ + 4·y₁ = (9 − 3·3 + 4)·y₁ = y₁ = A·e³ˣ, откуда   A = 1.

Тогда   y₁ = e³ˣ,   y = y₀ + y₁ = (C₁·x + C₂)·e²ˣ + e³ˣ

Постоянные интегрирования C₁, C₂ найдём из начальных условий.

При   x = 0     y = C₂ + 1 = 0, откуда   C₂ = −1.

Тогда   y = (C₁·x − 1)·e²ˣ + e³ˣ

Дифференцируем:   y′ = (2·C₁·x + C₁ − 2)·e²ˣ + 3·e³ˣ

При   x = 0     y′ = C₁ − 2 + 3 = C₁ + 1 = 1, откуда   C₁ = 0

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях:

y = e³ˣ − e²ˣ

Если Вам нужно грамотно и без посредников выполнить контрольную или курсовую работу — обращайтесь. Список предметов и номер телефона указаны у на моём сайте http://integral-ua.narod.ru/

Найти предел

 При x→0 получаем неопределённость вида 1^∞.

Приме́ним к знаменателю в показателе степени формулу косинуса двойного аргумента.

cos(2·x) = 1 − 2·sin²x
1 − cos(2·x) = 2·sin²x

Тогда исходный предел перепишется в виде:

 Предел в первых квадратных скобках сводится ко второму замечательному пределу:

 Предел во вторых квадратных скобках можно частично сведём к первому замечательному пределу.

Из исходного предела получили предел:

 где q = e^3/2 > 1.

Предела в точке x = 0 не существует. Найдём левосторонний и правосторонний пределы.