На одном из этапов Всероссийской олимпиады школьников по математике была предложена следующая задача.

Пусть a, b, c — положительные числа, сумма которых равна единице.

Доказать:   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Представим любой из множителей в левой части неравенства (например, первый) в виде суммы:

1 + a = 2 − (b + c) = (1 − b) + (1 − c)

Воспользуемся теперь неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел:

½ ((1 − b) + (1 − c)) ≥ √((1 − b)·(1 − c)), откуда   (1 − b) + (1 − c) = 1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))

Циклически переставляя переменные, получим систему из трёх неравенств:

{1 + a ≥ 2·√((1 − b)·(1 − c))
{1 + b ≥ 2·√((1 − a)·(1 − c))
{1 + c ≥ 2·√((1 − b)·(1 − b))

Перемножая почленно неравенства составленной нами системы, получим:

(1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·√(((1 − a)·(1 − b)·(1 − c))²)

или   (1 + a)·(1 + b)·(1 + c) ≥ 8·(1 − a)·(1 − b)·(1 − c)

Исходное неравенство доказано.

Решим тригонометрическое уравнение

sin²x + cos²(2·x) + sin²(3·x) = ³/₂

Воспользуемся сперва формулами понижения степени.

½(1 − cos(2·x)) + ½(1 + cos(4·x)) +

+ ½(1 − cos(6·x)) = ³/₂

Домножим теперь обе части уравнения на 2 и приведём подобные слагаемые:

сos(6·x) + cos(2·x) − cos(4·x) = 0

Для первых двух слагаемых применим формулу суммы косинусов:

2·cos(4·x)·cos(2·x) − cos(4·x) = 0

Разложим левую часть уравнения на множители:

cos(4·x)·(cos(2·x) − ½) = 0

Приравнивая каждый из множителей к нулю, получим и решим два уравнения:

1. cos(4·x) = 0

   4·x = π/₂ + π·k = (2·k + 1)·π/₂

   x = (2·k + 1)·π/₈;   k ∈ ℤ

2. cos(2·x) = ½

   2·x = ±π/₃ + 2·π·n = (6·n ± 1)·π/₃

   x = (6·n ± 1)·π/₆;   n ∈ ℤ

Объединим найденные решения.

Ответ:   x = {(2·k + 1)·π/₈} ∪ {(6·n ± 1)·π/₆};   k, n ∈ ℤ

Решим систему тригонометрических уравнений

{x − y = π/3 

{cos x + cos y = ³/₂

Применим подстановку

{(x + y)/2 = α

{(x − y)/2 = π/6

Тогда

{x = α + π/6

{y = α − π/6

Получим:

cos(α + π/6) + cos(α − π/6) = ³/₂

Воспользуемся теперь формулой суммы косинусов:

cos(α + β) + cos(α + β) = 2·cos α·cos β

Тогда

cos(α + π/6) + cos(α − π/6) = 2·cos(π/6)·cos α =

= 2·√3/2·cos α = √3·cos α = ³/₂

cos α = √3/2

α = ±π/6 + 2·π·n

{x = α + π/6 = π/6 ± π/6 + 2·π·n

{y = α − π/6 = π/6 ± −π/6 + 2·π·n

{x = (1 ± 1)·π/6 + 2·π·n

{y = −(1 ± 1)·π/6 + 2·π·n

Решения системы

n ∈ ℤ

 За грамотным выполнением контрольных работ без посредников и плагиата обращайтесь ко мне.

Звоните прямо сейчас 2427176 (Киев), (067)7384545
Валентин