Найти предел

lim	(1 − sin(3·x))1/(1 − cos(2·x))
x→0

 При x→0 получаем неопределённость вида 1^∞.

Приме́ним к знаменателю в показателе степени формулу косинуса двойного аргумента.

cos(2·x) = 1 − 2·sin²x
1 − cos(2·x) = 2·sin²x

Тогда исходный предел перепишется в виде:

 Предел в первых квадратных скобках сводится ко второму замечательному пределу:

lim	(1 − sin(3·x))1/sin(3·x) =	lim	(1 − sin t)1/t = e⁻¹ = 1/e
x→0		t=sin(3·x)→0

 Предел во вторых квадратных скобках можно частично сведём к первому замечательному пределу.

lim	sin(3·x)/(2·sin²x) =	lim	3·x²·sin(3·x)/(2·x²·sin²x) = ³/₂·	lim	sin(3·x)/(3·x)×
x→0		x→0		x→0

 

×lim	(x/sin x)²·	lim	¹/ₓ = ³/₂·1·1·	lim	¹/ₓ	= ³/₂·lim	¹/ₓ
x→0		x→0		x→0		x→0

Из исходного предела получили предел:

 

A =	lim	e−3/(2·x) =	lim	q−1/x
	x→0		x→0

 где q = e^3/2 > 1.

Предела в точке x = 0 не существует. Найдём левосторонний и правосторонний пределы.

 

lim q−1/x = q+∞ = +∞ x→0₋

lim q−1/x = q−∞ = 0 x→0₊