Цитата сообщения


Число pi (произносится «пи») — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита «пи».

История

Впервые обозначением этого числа греческой буквой pi~ воспользовался британский математик Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов — окружность, периферия и — периметр.

Оценки




Соотношения

Франсуа Виет, 1593:


Формула Валлиса:


Ряд Лейбница:


Тождество Эйлера:


Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»


Интегральный синус:


Трансцендентность и иррациональность

Иррациональность числа пи была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа
в непрерывную дробь. В 1794-м Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел пи и пи2.

В 1882 г. профессору Кёнигсбергского, позже Мюнхенского университетов Фердинанду Линдеману удалось доказать трансцендентность числа пи. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 г. Его доказательство приложено к работе «Вопросы элементарной и высшей математики», ч. 1, вышедшей в Гёттингене в 1908 г.

Поскольку в геометрии Евклида площадь круга и длина окружности являются функциями числа пи, то доказательство трансцендентности пи положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.

До сих пор неизвестно, является ли пи нормальным числом.

История вычисления

Архимед, возможно, первым предложил способ вычисления пи математическим способом. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Так, для шестиугольника (см. рисунок) получается




Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку:


В древнекитайских трудах попадаются самые разные оценки, из которых самая точная — это известное китайское число 355/113. Цзу Чунчжи (V век) даже считал это значение точным.

В Индии Арьябхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416

Заслуживает упоминания результат арабского математика Гиясэддина Джемшид ибн Масуд ал-Каши, завершившего в 1424 году труд под названием «Трактат об окружности», в котором он приводит 17 цифр числа пи (из них 16 верных).

Лудольф ван Цейлен (1536—1610) затратил десять лет на вычисление числа пи с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n=60·229. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Cirkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа пи. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число пи иногда называли «лудольфовым числом».

В Новое время для вычисления пи используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу нашёл в 1706 Джон Мэчин (John Machin):

и Чудновского


В 1997 году Дэйвид Х. Бэйли, Питер Боруэйн и Саймон Плуфф открыли способ быстрого вычисления произвольной двоичной цифры числа пи без вычисления предыдущих цифр, основанный на формуле


Мнемонические правила

1.

Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять.»

2. Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и запишите эти цифры подряд — не забывая про десятичную запятую после первой цифры «3», разумеется. Получится приближенное число Пи.
Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Кто и шутя, и скоро пожелаетъ Пи узнать число — ужъ знает!
(Вторая мнемоническая запись верна только при использовании дореформенной орфографии: при подсчете количества букв в словах необходимо учитывать твердые знаки!)

Еще один вариант этой мнемонической записи:
Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны. Доверимся знаньям громадным Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду.

Забавные факты

• Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа пи
  
  • Ещё одной датой, связанной с числом пи, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа пи.
    
    
    • Мировой рекорд по запоминанию знаков числа пи принадлежит японцу Акира Харагути (Akira Haraguchi). Он запомнил число пи до 100-тысячного знака после запятой. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.
      
      • В штате Индиана (США) в 1897 был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора Университета Пердью, присутствовавшем во время рассмотрения принятия данного закона.
        
        Для тех кто хочет увидеть число пи до 100 000-го знака. Прикрепляю блокнот в котором оно написано: Число пи
        А здесь: Число пи 0001 первый из тех самых 1000 архивов значений числа пи (архив весом в 114 Мб!)