Года четыре назад на форуме газеты Час мной было высказано достаточно очевидное предположение, что при близких значениях двух чисел, одно из которых принимается за основание для возведение в степень, а другое за показатель степени, то большим должен быть результат, когда показатель степени больше основания. В качестве примитивной проверки я взял пару чисел (9,11) и показал, что результат возведения среднего арифметического числа 10 отличается на два порядка.

На форуме было опубликовано опровержение моего предположения – предложены для проверки числа 2 и 3, которые опровергают мое предположение:
(2^3=8) < (3^2=9)
Сначала я предположил, что дело в относительной разнице чисел и числа, отличающиеся в полтора раза нельзя считать «похожими». Однако выборочные расчеты показали, что не всё так просто: моё утверждение работало только для чисел, больших единицы. Степень похожести различна для чисел - по мере увеличения среднего арифметического чисел требование к «похожести» становилось менее строгим. Уже для среднего арифметического числа 7 моё предположение «работает» при отличии чисел в паре более чем на 80 %. В дальнейшем я заметил еще одно ограничение: если среднее арифметическое чисел меньше величины числа е (2,72...) то моё предположение неверно. Все это побудило взяться за исследование функции А^B=B^A
Для расчетов я ввёл коэффициэнт Х = В/А, который характеризует максимальную разницу между числами А и В ("похожесть").
Исходное уравнение преобразую к виду B ln A= A ln B
После подстановки В = АХ получаю: Х-1 = (ln X) / (ln A)
Откуда следует, что А = Х^(1/(X-1))
Остается построить график X=F(C), где С=(А+В)/2- среднее арифметическое для чисел А и В:

Итак, в результате проведенных исследований выяснены границы истинности моего предположения:
1) Числа A и В должны быть больше 1;
2) Среднее арифметическое чисел А и В должно быть больше числа е
3) Чем ближе величина среднего арифметического к числу е, тем более «похожи» должны быть числа А и В.

Между тем, на форуме Часа было предложено доказать, что е^¶ > ¶^e:
¶=ae
e^(ae) > (ae)^e
ae>e ln(ae)
a > ln(a) + 1
a-1>ln(a)
Очевидно,что обе части неравенства больше нуля и что обе увеличиваются при увеличении аргумента. Обе функции пересекают ось абсцисс в одной точке - при значении а=1.

Чтобы исследовать скорость изменения правой и левой части вычисляю их производные:
(а-1)’ = a’ – 1’ = 1 т.е. скорость изменения ф-ии постоянна для любого а
и
(ln(a))’ = 1/a т.е. для любого а>1 значение этой производной будет меньше единицы.

Следовательно, неравенство доказано для любого числа а>1 , или, что одно и тоже, для любой пары чисел, где одно число равно е, а другое должно быть больше его.

Т.е. для любой пары чисел, где A,B >= e и и A меньше чем B, верно утверждение, что A^B > B^A


Не исследована область отрицательных чисел и случай, когда одно из чисел пары меньше единицы, а другое больше. Впрочем, небольшая недосказанность – это лишь стимул для пытливых умов!