[КРАТКИЙ ПУТЕВОДИТЕЛЬ "ТАМ ЗА ОБЛАКАМИ"]

6.2_формы

(52)

Случилось так, что на кладбище Цолликона, фешенебельного пригорода Цюриха, урны с прахом Вольфганга Паули и Хайнца Хопфа расположены неподалеку друг от друга. Как своего рода символ непрекращающегося диалога двух великих ученых-друзей – возглавлявших кафедры физики и математики в одном и том же институте ETH, живших по соседству, время от времени сражавшихся в шахматы и любивших вместе бродить-беседовать в окрестных лесах.

О чем там им нравилось разговаривать, теперь, наверное, уже и не узнать. Хотя кое-что на данный счет все же известно. Всегда отличавшийся чувством юмора, после одной из таких прогулок Хопф следующим образом прокомментировал их беседы: «Сегодня у нас была горячая дискуссия о том, для чего был сотворен человек – чтобы заниматься Чистой Математикой или же чтобы заниматься Прикладной Математикой. Увы, нам не удалось разрешить эту проблему»…

Занятная и одновременно несколько грустная ирония заключается в том, что готовый ответ для столь «трудноразрешимой проблемы» в действительности был найден самим же Хопфом давным-давно. Вот только на постижение смысла этого ответа ученым-математикам и ученым-физикам понадобились многие и многие годы. Считай, порядка полувека. К тому времени уже ни Хопфа (1894-1971), ни тем более Паули (1900-1958), на этом свете уже не было.

Собственно же Ответ представляет собой на удивление богатую математическую конструкцию, открытую Хайнцем Хопфом еще в 1931 году ]0[, а ныне общеизвестную под названиями Hopf fibration, Hopf fiber bundle или – не в самом удачном переводе на русский – «расслоение Хопфа». Поначалу обнаруженное и описанное как совершенно абстрактный объект в области чистой математики, расслоение Хопфа, как выяснилось много десятилетий спустя, имеет широчайший диапазон приложений в математике прикладной. И особенно – в самых разнообразных областях физики.

Иначе говоря, разграничение чистой и прикладной математики – это, похоже, особенность исследователей, только начинающих познавать природу. Однако чем больше человек узнает о мире и о себе, тем чаще он обнаруживает, что любой раздел математики может иметь прикладное значение. Более того, именно такие открытия – найти сугубо практическое приложение для совершенно абстрактных прежде идей – и оказываются ныне в математике особо волнующим и захватывающим делом.

Но пока что, впрочем, самое время поподробнее разобраться, что же в общих чертах представляет собой расслоение Хопфа и каковы его разнообразные физические приложения.

Суть этого замечательного объекта такова, что внутреннее строение трехмерного пространства, как обнаружил Хопф, имеет с точки зрения топологии не то чтобы не простую, а скорее даже напротив, весьма нетривиальную и богатую структуру.

В принципе, рассказывать об этом «устройстве нашего пространства» можно очень по-разному – в зависимости от аспектов, которые надо подчеркнуть. Можно, в частности, и вот так.

Фактически, Хайнц Хопф нашел способ заполнения всего пространства с помощью окружностей. Вообще говоря, для этой задачи есть и совсем простые решения, типа такого – взять прямую и нанизывать на нее до бесконечности концентрические окружности.

Однако Хопф занимался более общей задачей – построением отображения трехмерной сферической поверхности или 3-сферы, находящейся в 4-мерном пространстве, на более привычное нам 3-мерное евклидово пространство, которое принято именовать плоским и обозначать R3.

В каком-то смысле эта задача аналогична задаче о том, как поверхность глобуса – или 2-сферы – отобразить на поверхность плоской карты. Понятно, что любая форма проекции неизбежно вносит в картину те или иные искажения. Хопф для этой цели применил известную в географии и геометрии стереографическую проекцию, которая при отображении сохраняет углы между прямыми (это называется конформное преобразование), а окружности переводит также в окружности или прямые (иначе, окружности бесконечного радиуса).

Если развивать ту же аналогию с глобусом, т. е. более привычной нам 2-сферой, то одна из важных особенностей отображения, изучавшегося Хопфом, заключается вот в чем. Когда точки 3-сферы, образующие поверхность в 4-мерном пространстве, находятся на таком глобусе строго по линии «широты», то при отображении в евклидово пространство R3 этой конфигурации соответствует фигура, именуемая тор вращения (и по форме соответствующая вихревому кольцу).

Толщина трубы такого тора изменяется в зависимости от места расположения широты между плоскостью и точкой проецирования. По мере смещения широты от точки проецирования, тор проходит через все промежуточные состояния между двумя предельными. В одном пределе, становясь все тоньше, он вырождается в окружность. В противоположном случае тор распухает до такого состояния, когда его «дырка» вырождается в прямую линию, перпендикулярную плоскости экватора.

Иначе говоря, Хопф заполнил все пространство R3 вложенными друг в друга торами. Но самое главное, однако, тут вот что. Каждой точке глобуса, расположенной на линии широты, на поверхности тора соответствует линия окружности, захватывающая «дырку бублика» и по косой опоясывающая трубу. Подобно тому, как множество точек заполняет всю окружность широты, так и множество таких колец, зацепленных друг за друга, полностью покрывает поверхность соответствующего тора.

По причинам исторического порядка, такого рода окружности на торе именуются параллелями Клиффорда – по имени английского математика, который в XIX веке ввел эти объекты для изучения свойств искривленных пространств. Поэтому описываемую здесь конструкцию в целом иногда именуют расслоением Клиффорда-Хопфа. «Слоями» (стандартный перевод термина Fiber выглядит довольно неудачно, потому что речь идет о замкнутых в кольцо нитях или «фибрах») здесь принято называть те самые зацепленные окружности, которые образуют поверхности торов, а значит – заполняют собою весь объем пространства.

Эта исходная конструкция положила начало чрезвычайно плодотворному направлению топологических исследований, изучающих расслоения пространств самых разных конфигураций и размерностей. Но что характерно, на протяжении довольно долгого времени все подобные изыскания относились к области сугубо абстрактной чистой математики.

К концу 1970-х годов, однако, физикам стало ясно, что расслоение Хопфа играет фундаментально важную роль в калибровочных подходах к квантовой теории поля. Кроме того, фактически в качестве ядра всей модели, расслоение Хопфа выступило в теории твисторов Роджера Пенроуза, а позднее и в ряде других подходов к теории квантовой гравитации.

На сегодняшний день перечень всевозможных физических приложений для этой конструкции оказывается очень длинным – от магнитных монополей до поляризации поперечных волн и механики твердого тела, от геометрических свойств квантовой сцепленности и устройства кубитов в квантовом компьютере до релятивистского искажения небесной сферы.]1[

Формулируя то же самое чуть иначе, можно констатировать, что в структуре геометрического объекта под названием расслоение Хопфа ныне просматривается единая фундаментальная основа для ряда важнейших на сегодня идей физиков относительно устройства реальности. В частности, для фрактально-голографической модели – где любой, даже самый мелкий фрагмент воспроизводит собой целое. Для модели мультиверса – как множества одновременно сосуществующих параллельных миров. Для вселенной как квантового компьютера. И для такой физической системы, наконец, которая органично и неразрывно сочетает в себе материю и сознание.

Короче говоря, имеются серьезные основания рассматривать расслоение Хопфа как общую структуру, объединяющую в себе все те направления математической физики, которые начинали было развивать – но явно не сделали того, что могли – Хью Эверетт, Клод Шеннон и, конечно же, Вольфганг Паули, мечтавший о возвращении в науку «души материи».