Здравствуйте!
Есть следующая задача. Имеется система, состояние которой в каждый момент времени описывается конечным количеством (к примеру - десятью) величинами. Определение этих величин, меняющихся во времени, требует решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Левая часть каждого уравнения представляет собой первую производную по времени от соответствующей величины, правая часть зависит от всех искомых величин и времени (вообще говоря - нелинейно). Левая часть одного из уравнений содержит функцию времени, которая меняется скачкообразно, причём в интервале времени между скачками данная функция времени сохраняет постоянной значение. Если постоянное значение, принимаемое данной функцией на некотором интервале времени, достаточно велико, то величина, относительно которой записано дифференциальное уравнение, монотонно увеличивается во времени (при этом закон изменения либо близок к линейному, либо хорошо аппроксимируется возрастающей ветвью параболы) - назовём его f(t). На интервале времени, предшествующем монотонному росту, данная величина меняется во времени весьма сложным образом (поскольку дифференциальные уравнения содержать функции времени, описывающие сложные физические процессы) - назовём его f0(t). Характерная особенность заключается в том, что множеству существенно различных f0(t) в некоторых случаях соответствует практически одинаковые f(t).
Вопросы:
1) Означает ли это, что f0(t) можно поставить в соответствие некоторое число, например - интеграл по времени от некоторой функции F(f(t)), такой, что если его значение одинаково для нескольких разных f0(t), то функции f(t), соответствующие разным f0(t), будут практически одинаковы?
2) Позволяет ли это строить f(t) в случае, если неизвестны параметры исходной системы дифференциальных уравнений, а известна лишь f0(t), то есть предыстория процесса (например - из эксперимента)?
Если есть научные работы по данной теме - я был бы рад ознакомиться.
Заранее спасибо.

https://ru-math.livejournal.com/845988.html

Направьте, пожалуйста, хотя бы термином, куда смотреть по поводу такой задачи.

Пусть есть несколько рациональных чисел.
Можно ли просто узнать, "независимы" они, или одни из них умножением и делением выразимы через другие?
Например {1/2, 2/3, 2/9} не "независимы", т.к. 2/9 = (2/3)*(2/3)/(1/2)

Пробовал рассматривать рациональные числа как векторы из показателей степеней простых чисел - не помогало.

https://ru-math.livejournal.com/845577.html

Верно ли, что три попарно не пересекающиеся прямые в трёхмерном проективном пространстве определяют его ориентацию? Содержательно, они закручены или правым, или левым винтом, но как это формализовать?

https://ru-math.livejournal.com/845562.html

Есть ли изящный способ задавать ориентацию трёхмерного проективного пространства? Способ нужен "элементарный", без дифференциальной геометрии. Например, в евклидовом пространстве точка делит прямую на две части. Чтобы ориентировать прямую, надо выбрать одну из частей. Прямая делит плоскость на две части. Чтобы ориентировать плоскость, надо выбрать одну из полуплоскостей (если прямая уже ориентирована). Плоскость делит пространство на две части, надо выбрать одно из полупространств (если плоскость уже ориентирована). Для проективного пространства это не годится (проективная плоскость не ориентируема и не делит проективное пространство на две части). Отношение "лежать между" в проективном случае требует четырёх аргументов и становится неудобным для работы.

Зачем мне это нужно: на трёхмерном проективном пространстве можно задать умножение точек и превратить его в группу. А именно, точки проективного пространства соответствуют поворотам обычного (евклидова) пространства вокруг начала координат. Каждый поворот можно задать вектором, направленным вдоль оси поворота, длина которого равна углу поворота (тут надо выбрать правый или левый винт). Такие векторы заполняют шар радиуса пи с отождествлёнными диаметрально противоположными точками сферы (потому что повороты на пи и минус пи вокруг одной оси дают одинаковый результат). И тут мы видим, что умножение точек (композиция поворотов) зависит от того, как мы откладывали вектор поворота - правым или левым винтом. Таким образом, умножение точек зависит от ориентации проективного пространства. Чрезвычайно хочу придумать операцию, не зависящую от ориентации, через которую выражается это умножение, если ориентация выбрана.

Много подробностей про эту группу и её связь с проективной геометрией есть в книге Бахман "Построение геометрии на основе понятия симметрии".

https://ru-math.livejournal.com/845201.html

Есть в гомологической алгебре термин smashing subcategory - и всякие его родственники/обобщения. Не посоветуете - как бы его перевести на русский? Может быть, кто-нибудь его где-нибудь уже перевел?:) Транслитерировать не хочу.

Спасибо!

https://ru-math.livejournal.com/844846.html

Британский математик заявил о доказательстве гипотезы Римана

© 2018 N+1

nplus1.ru/news/2018/09/21/riemann

nplus1.ru/

89-летний британский математик, сэр Майкл Фрэнсис Атья (Michael Francis Atiyah), лауреат премий Абеля и Филдса, известный своим вкладом в алгебраическую геометрию и топологию, заявил об успешном доказательстве гипотезы Римана. Это знаменитое утверждение описывает то, как расположены на числовой прямой простые числа. Математик представит «простое доказательство, использующее кардинально новый подход» утром в понедельник, 24 сентября

https://ru-math.livejournal.com/844617.html

Расскажите, please, достаточно элементарно о новых Филдсовских лауреатах и их работах.

https://ru-math.livejournal.com/844413.html

https://ru-math.livejournal.com/844125.html

Приветсвую сообщество,

читаю книжку Элленберга в оригинале она называется "How not to be wrong: The Power of Mathematical Thinking" там он разбирает пример с трансильванской лотерей, плоскостью Фано итд сначала для случая как выбрать 7 билетов из 35 возможных, так чтобы максимизировать вероятность получения 2 правильных номеров из 3, за которые тоже дают приз. И он приводит таблицу вероятностей для разного количества билетов с 2 цифрами в 7 билетах и снабжает все это комментарием вы можете это сами посчитать. Я рассмотрел самые простые случаи -- ни одного билета с 2 правильными номерами и все 7:

ни одного: (23 chose 7)/(35 chose 7)
все семь: (12 chose 7)/35 chose 7)

и у меня получаются другие значения, чем в таблице.

Вопрос: что я делаю не так и как правильно считать?

https://ru-math.livejournal.com/843844.html

https://ru-math.livejournal.com/843729.html

Численно решаю задачу n тел методом Эйлера. Когда тела сближаются, большие ускорения скачком пробрасывают тела мимо друг друга; торможения не происходит, поскольку к следующему шагу тела уже далеко.
Это заметно повышает общую энергию системы.

Пытаясь избавиться от проблемы, попробовал неявный метод(ОДУ-шный аналог схемы Кранка-Николсона). Не помогло.

1.) Может быть кто знает, какие методы хорошо подходят для задачи n-тел?
2.) Не существует ли подхода, при котором общая энергия системы сохраняется?

https://ru-math.livejournal.com/843334.html

Известен ли пример случайного процесса, все траектории которого нигде не дифференцируемы с вероятностью единица, но при этом среднеквадратическая производная существует?

https://ru-math.livejournal.com/843105.html

Докажите знакопеременное тождество с биномиальными коэффициентами для нечетных p. Знак перед последним слагаемым может быть и плюс, и минус (как получится из знакопеременности).

https://ru-math.livejournal.com/842930.html

Докажите тождество с биномиальными коэффициентами для нечетных p.

https://ru-math.livejournal.com/842583.html

Заинтересовала меня тут одна задача. Спрашиваю здесь, потому что уверен, что математики уже там давно уже все углы обгадили, решение должно уже быть, и мне дадут сразу правильные ссылки.

Из электростатики мы знаем об уравнении Пуассона, связывающем потенциал электрического поля и плотность заряда. Зная распределение объёмного заряда и потенциал на границе области, можно восстановить потенциал (и поле) во всём пространстве.

Меня интересует обратная задача: восстановить плотность заряда, зная потенциал на границе области (считаем, что снаружи области зарядов нет). Очевидно, задача не имеет однозначного решения. Одно из решений заключается в том, чтобы дважды решить уравнение Лапласа (внутри и снаружи области), а затем по излому производной потенциала на границе найти поверхностное распределение заряда. То есть, весь заряд в таком решении распределен по границе.

Но хочется другое решение. Хочется решение, в котором заряд максимально сконцентрирован. То есть, если потенциал представим как конечная сумма точечных зарядов, то чтобы именно это распределение и было результатом.

Я попробовал решать вариационную задачу, максимизируя потенциальную энергию зарядов (сконцентрированный заряд запасает больше энергии, и сильнее "хлопнет", если "взорвётся" на куски). То ли я плохо помню вариационное исчисление, то ли где-то ошибся, но результатом варьирования оказалось именно поверхностное распределение заряда (возможно, что в нём, наоборот, получается минимум энергии).

Можно свести всё к мультипольному разложению, тогда результатом будет сингулярная каша в начале координат, но это тоже не то, что мне нужно, да и я сомневаюсь, что удовлетворит условию минимальности.

Как же подступиться к задаче?

https://ru-math.livejournal.com/842390.html

Вопрос: существует ли тороидальный многогранник, каждая грань которого является выпуклым шестиугольником?

Нетрудно доказать, что не существует сфероподобного многогранника, все грани которого являются выпуклыми шестиугольниками (это противоречит В+Г-Р=2). Существует тороидальный многогранник, некоторые грани которого являются невыпуклыми шестиугольниками (пример ниже принадлежит С.А.Лавреченко):



В интернете есть примеры красивых картинок с якобы выпуклыми шестиугольниками, см. например https://mathematica.stackexchange.com/questions/39879/create-a-torus-with-a-hexagonal-mesh-for-3d-printing/39930



Имею предположить, что все эти картинки неверные (то ли какая-то грань на самом деле неплоская, то ли один из шестиугольников невыпуклый). Основание так считать -- то, что на этих картинках в каждой вершине сходится ровно 3 шестиугольника (а так, видимо, не бывает -- т.е. пример с выпуклыми гранями, если он есть, обладает тем свойством, что в каких-то вершинах сходится более 3 шестиугольников).

Буду благодарен за советы.

https://ru-math.livejournal.com/842088.html

Рассмотрим числа, которые можно построить циркулем и линейкой
https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number
Пиша программу для интерактивных геометрических построений, задался вопросом, как эти числа записывать и сравнивать по величине?
http://dxdy.ru/topic116649.html
Оказалось, вопрос решён (глава Solving Geometrical Constraint System, автор Denis Bouhineau)
https://libgen.pw/download.php?id=336879
Идея в том, что не надо придумывать обозначения для всех чисел сразу. Делая конкретное геометрическое построение циркулем и линейкой, мы добавляем к полю рациональных чисел некоторые квадратные корни и получаем расширение вроде Q[\sqrt 2][\sqrt 3]. Элементы каждого такого поля записываются как пары чисел из предыдущего поля, например, элементы Q[\sqrt 2] имеют вид a+b\sqrt 2, где a и b из Q. Выписывается простой рекурсивный алгоритм сравнения по величине. Ключевая проблема - как не ввести поле вроде Q[\sqrt 9]? Bouhineau предложил алгоритм, проверяющий, является ли число полным квадратом в поле такого вида, мы можем проверить, что \sqrt 9=3 и расширять не надо.
В конце статьи проблема, цитирую
The main result of this paper relies on the possibility to find explicit square root in algebraic extention of Q with square roots. Can this be extended to root of arbitrary degree?

И вот вопрос - можно ли это сделать? Я спрашивал у Bouhineau, он не знает.

https://ru-math.livejournal.com/841908.html

Возьмем единичную окружность с центром в нуле, а на ней какую-либо точку. У соответствующего комплексного числа (если оно алгебраическое) есть минимальный многочлен. Вопрос: может ли он иметь нечетную степень?

Например, если взять число cos(Pi/9) + I * sin(Pi/9) , то у него минимальный многочлен x^6-x^3+1 имеет степень 6, т.е. четную. Буду благодарен за пример с нечетной степенью или доказательство, что такого быть не может (тривиальные пример x+1 и x-1 исключаем)

Спасибо.

https://ru-math.livejournal.com/841685.html