то, либо, нибудь, кое, таки, ка - пишутся строго через дефис.
строгость слегка уменьшается, если частица -таки переползает куда-то от слова, к которому относится. Как правило, это разговорый вариант "с одесским акцентом".
в конкретных примерах:
1) Я начал(?)таки тренировку - однозначно через дефис. Частица относится к глаголу.
2) И я(?)таки поверила - варианты. Если разговорный - без дефиса (поверила-таки, переставлены местами слова), если суть в том, что поверила именно я, а не кто другой, и -таки относится к местоимению, то через дефис.
3) Догнал он(?)таки вора - та же история.
4) Хотелось бы(?)таки знать - грамматически чудовищно, но в разговорном варианте употребимо. Но однозначно без дефиса, поскольку частица -таки ну никак не может относиться к частице бы.