Фаворитом нынешнего чемпионата мира по футболу считается испанская сборная. Букмекеры дополнительно «подпирают» её рейтинг, страхуясь на случай, если Испания в самом деле окажется сильнее Бразилии. При этом сами букмекеры не скрывают, что исход любого матча правильно предсказывает один человек из пяти. Чаще всего это счастливцы из одного круга — «мудрые ребята» (wise guys). И кое-кому хочется испытать, не принадлежит ли он к числу этих избранников судьбы. Или любимцев духов, как сказали бы наши предки.

Дверь в иной мир

Вообще история игр и ставок — это рассказ о законах, которые запрещают людям общаться с миром духов. Этот мир непостижим, и соприкоснуться с ним можно через непостижимое в обыденной жизни. Скажем, никто не знает, как упадет монета — орлом или решкой. А раз это нельзя постичь, значит, монета во власти духов. Древние греки так и гадали: в одной руке — монета «за богов». Во второй руке — другая монета, «за себя». Теперь задаем вопрос: «Стоит ли мне сделать то-то и то-то?» — и бросаем обе монеты. Если обе упали решкой или обе орлом — значит, боги согласны.
Наука в помощь церкви

Священники не могли спокойно смотреть, как азартные игроки нарушают их монополию на общение с богами и духами. Индийские законы Ману за метание костей и тотализатор на петушиных боях предписывали нещадно бить палками. Напоминающий нарды прототип шахмат превратился в позиционную игру. Жребий метали только дважды — кому первым ходить и кому достанутся чёрные, которые считались более счастливыми. Только с 1835 года по предложению английского журналиста Джорджа Уолкера (George Walker, 1803–1879) жребий стали метать один раз. Проигравший получает удачливые чёрные в качестве компенсации.

Но никакой системы в шахматах не было. Фигуры двигали как попало — ввяжемся в драку, а там видно будет. Элементы гадания сохранились: кто знает, какой вариант хода выберет противник? Конец неизвестности положили математики Средних веков. Они заметили, что последствия любого решения партнера поддаются расчету. Люди с математическим складом ума стали лучшими шахматистами. С ними боялись играть на деньги. Оценив пользу анализа в позиционной игре, учёные задумались об играх азартных: нельзя ли и там что-нибудь рассчитать? Оказалось, можно.

В 1647 году Блез Паскаль (Blaise Pascal, 1623–1662) пережил частичный паралич. Доктора предписали ему встряхнуться. И Паскаль стал вести самую разгульную жизнь: выпивать и посещать игорные дома. Там он познакомился с неким шевалье де Мере (Antoine Gombaud, chevalier de Méré, 1607–1684). Тот сообщил, что при бросании кости четыре раза подряд вероятность выпадения любой определённой грани (в том числе и шестерки, которая интересовала игроков) составляет более 50%. Делая небольшие ставки в игре с одной костью, де Мере выигрывал. Но стоило шевалье перейти к столу, где бросали две кости, система приносила одни убытки.

Паскаль задумался, можно ли рассчитать вероятность с математической точностью. Он был первым, кто осмелился бросить такой вызов судьбе. Древние верили в рок, им в голову не приходило считать вероятность. Паскаль решал эту задачу с помощью треугольника, который был известен еще Омару Хайяму на востоке и Леонардо Пизанскому (Leonardo Pisano Bogollo, detti Fibonacci, ок. 1170 – ок. 1250) на западе, но получил имя Паскаля. Это пирамида чисел, каждое из которых равно сумме двух, расположенных над ним:

С помощью этого треугольника можно легко предсказывать разные вероятности развития игры в орла и решку. Если мы бросаем монетку один раз, возможны два исхода: соотношение их вероятностей мы видим во второй сверху строке треугольника — 1:1. Если мы хотим узнать возможные результаты игры, когда монетку подбрасывают два раза, ответ надо искать в третьей строке треугольника: 1 шанс из четырех, что оба раза будет решка; 1 — что оба раза орел; и 2 шанса, или 50% — вероятность, что по очереди выпадет и то и другое.

Вот это да! Выходит, мир духов отчасти можно постичь: если монету подбрасывать достаточно долго, два раза подряд «орел» выпадает лишь в 25% случаев, как бы духи не старались. Отсюда со временем вывели теорию принятия решений, гласящую, что неблагоприятного исхода можно опасаться в меньшей степени, если вероятность его мала. А эту вероятность можно оценить по данным статистики. Это открытие — основа современной экономики, от страхования и маркетинга до биржевой игры.

Паскаль воспринял собственное открытие своеобразно. Он задумался, какие пари можно было бы выиграть, применяя расчет вероятностей. Пожалуй, самая высокая ставка может быть в споре о том, существует ли Бог. Возможны два варианта: Бог или есть, или его нет. Проверить это на опыте мы не можем. Если Бог есть, то он вознаградит нас вечным блаженством за праведную жизнь. Если его нет, то всё дозволено. Какую ставку сделать в этой игре? Грешник наслаждается лет 50, а потом горит в вечном огне. Разумнее вести себя по-христиански.

И Паскаль поступил разумно. Он перестал грешить и поселился в женском монастыре Пор-Рояль, где состояла монахиней его сестра. Но в этом монастыре он придумал игру, загубившую немало душ. Однажды у него заболели зубы. Чтобы отвлечься, Паскаль стал считать вероятность выигрыша в лото с 36 билетами. Из этой идеи родилась рулетка.

"Кто способен вовремя остановиться, тот имеет шанс остаться в выигрыше».
 

Санкт-Петербургский парадокс

Последняя фраза относится и к футбольному тотализатору. Здесь выигрывают хладнокровные люди, которые следят за статистикой и делают ставки по открытому в 1956 году критерию Келли.

Этот критерий можно было открыть и на 200 лет раньше. В 1738 году журнал Санкт-Петербургской академии наук «Commentarii academiae scientiarum imperialis» опубликовал статью академика Даниила Бернулли (Daniel Bernoulli, 1700 — 1782) «Изложение новой теории об измерении риска» (Specimen theoriae novae de mensura sortis). Автор восемь лет провёл в России. Ко времени публикации статьи он уже давно переехал в Базель. Как только его статью перевели в 1954 году на английский язык, она попала в поле зрения американских математиков, применивших идеи академика в тотализаторе и биржевой игре.

Бернулли провозгласил, что для принятия решения мало знания вероятностей исходов. Важно ваше отношение к потере того, чем вы рискуете. Вероятность падения пассажирского самолета меньше 1/1000, но ужасно то, что она вообще больше нуля. Если вы поставили все свои деньги на Испанию, а выиграла Бразилия, вам нечего будет есть.

И какой же частью своих денег рискнуть? Когда Бернулли жил в России, его двоюродный брат Николай (Nicolaus Bernoulli, 1687–1759) предложил ему решить задачу, получившую название «санкт-петербургский парадокс». Условия: Павел предлагает Петру за умеренную фиксированную плату сыграть в простую игру: Павел бросает монету до тех пор, пока не выпадет орёл, и выплачивает Петру 1 дукат (по покупательной способности — около 1500 нынешних рублей), если орел выпал при первом броске, 2 дуката, если орел выпал при втором, 4 дуката, если в третьем, и так далее по степеням двойки. Вопрос заключается в том, какая плата будет слишком велика. Человеку трудно решиться в такой ситуации и на 20 дукатов, даже если он знает, что математическое ожидание его выигрыша — бесконечность.


Тот же вопрос можно задать иначе: за какую сумму Петру стоит продать третьему лицу свой шанс получить, вообще говоря, бесконечно большой выигрыш? И снова Бернулли дает то же значение — 20 дукатов. И дело в том, что вероятность выиграть эту сумму в предложенную Павлом игру для Петра оценивается в 6%, а тот, кто купит у него его шанс, сможет вернуть себе вложение в 20 дукатов лишь с вероятностью в 3%. Конечно, его шанс на выигрыш, который с лихвой покроет все затраты, вполне реален, но все же ничтожен.

Бернулли первым отметил: ущерб от потери начальных даже относительно небольших вложений может оказаться больше, чем польза от выигрыша значительно большей суммы.

Другой пример: Пётр и Павел имеют по 1000 рублей и держат пари на результаты матча «Испания — Бразилия». Допустим, шансы этих команд примерно равны. Ставка — 500 рублей, выигрывает Пётр. Но его радость от выигрыша меньше, чем огорчение Павла. Бернулли отметил, что разумнее вообще не заключать такого пари: «Опрометчивость игрока возрастает с увеличением части его состояния, которую он ставит в случайной игре».

Критерий Келли — это как раз формула, которая определяет допустимый размер ставки в зависимости от вашего капитала и вероятности победы Испании по оценке букмекера, с которым вы играете. Главное — не увлечься и не поставить сумму больше расчётной. А многие даже считают предложенный критерий слишком мягким и делают ещё более скромные ставки. Когда математики впервые опробовали этот критерий на скачках и в казино, они были охвачены энтузиазмом от своего могущества. Но потом оказалось, что выигранные суммы не стоили потраченного на них времени. Увы, тотализатор не источник крупного дохода. Это важно учесть азартным людям, которые после закрытия по всей России казино набросились на букмекерские сайты. По результатам опросов Национальной ассоциации букмекеров России, даже у заядлых болельщиков прогнозы сбываются примерно в 20% случаев. Футбол тем и прекрасен, что непредсказуем.