Так называется задача 19 на досрочном экзамене ЕГЭ по математике в 2015 году. Эта задача теперь решается принципиально иначе, чем в тексте демоварианта.
Предлагаю Вашему вниманию видеоролик посвященный решению этой задачи и еще три тестовых задания на эту же тему.
А вот еще один видеоролик по решению этой же задачи.
Вот такие некрасивые решения этой задачи. После такого моего заявления некоторые сочтут это задание не достойным их внимания. У нас всегда так, если мы не можем найти красивое решение какой-либо задачи, то в этом виновата, конечно, задача, но не мы сами.
Такая же ситуация и здесь. Нашли Интернете одно решение и не пытаемся искать другие. А зря. Эта задача имеет еще несколько решений.
Пусть первый завод работал х часов, а второй - у часов. Тогда 2х + 5у = 580. При этом выплаченная сумма будет равна 500(х2 + у2).
Нам нужно найти минимум функции 500(х2 + у2) при условии 2х + 5у = 580. Мы пришли к известной математической задаче о вычислении экстремума функции при заданном ограничении на перемененные, т. е. к так называемой задаче на условные экстремумы.
В курсе высшей математики разработаны специальные методы решения этой задачи. нам же придется ограничиться знаниями элементарной (школьной) математики. при этом предлагаем несколько решений этой задачи с опорой на различные наборы знаний.
Решение II (геометрическое).
Решение III (формулы приведения).
При этом равенство имеет место тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений
Значит, 5 800 000 - ответ нашей задачи.
Ответ: 5 800 000.
Согласитесь, красивое и простое решение этой задачи. Однако я здесь использовал одну элементарную формулу
Задачи для самостоятельного решения
1. Сергей владеет двумя промышленными заводами, выпускающими одинаковую продукцию. На втором заводе установлено современное оборудование, поэтому на нем может быть выпущено больше единиц продукции. Известно, что если рабочие первого завода суммарно трудятся t2 часов в неделю, то выпускают t единиц продукции. А если рабочие второго завода суммарно трудятся t2 часов в неделю, то выпускают 2t единиц продукции. Ставка заработной платы рабочего составляет 500 рублей в час. Сергей готов платить рабочим 30 250 000 рублей в неделю. На какое максимальное количество единиц продукции он может рассчитывать?
2. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
