C4.Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2: 3. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции.


Решение. Неизвестно как относятся площади трапеций BCFE и AEFD - как 2:3 или как 3:2.
Поэтому эту задачу будем решать в общем виде.

Обозначим искомый отрезок ЕF через х. Пусть площади трапеций BCFE и AEFD относятся как m:n.

. Отсюда
где h₁ и h₂ - высоты этих трапеций.

Через точку F проведем отрезок РН параллельно АВ (можно было бы этот отрезок провести через точку С или D). Тогда треугольники PFD и CHF подобны (докажите самостоятельно) и

Используем соотношение (*):


Решая полученное уравнение относительно переменной х, получаем m(х² - b²) = n(a² - x²), (m + n)x² = na² + mb², .
Если площади трапеций BCFE и AEFD относятся как 2:3, то m = 2, n = 3 и искомый ответ будет .

Если же площади трапеций BCFE и AEFD относятся как 3:2, то m = 3, n = 2 и искомый ответ будет
Ответ: или .