На ЕГЭ по математике очень часто предлагаются задания на нахождение значений параметра, при которых выполняется то или иное условие.

Такие задачи не входят в программу общеобразовательной школы. Поэтому их решение необходимо освещать в методической литературе и обсуждать на Интернет-площадках. Вот и в своей рассылке "Математика. Подготовка к ЕГЭ и ЕНТ" (http://content.mail.ru/cgi-bin/counter?27136+3) я опубликовал решение нижеследующей задачи их сборника подготовки к ЕГЭ-2012.

Найти все значения а, при каждом из которых функция f(x) = x² - ∣x - a²∣ - 5x имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение.

Раскроем модуль:

При x ≤ a²: f(x) = х² - 4x - a²,
при x > a²: f(x) = х² - 6x + a².

Графиком функции f(x) при х ≤ a² является часть параболы. Вершина этой параболы имеет абсциссу 2. Точно также графиком функции f(x) при х > a² является часть параболы, у которой вершина имеет абсциссу 3.



Если a² ≤ 2, то график функции f(x) имеет вид рисунка выше этих строк. Понятно, что в этом случае никаких точек экстремума нет, значит, нет и точек максимума.



Если 2 < a² < 3, то график функции f(x) приведен на втором рисунке. В этом случае точкой максимуму является х = 2. Решив неравенство 2 < a² < 3 получим искомые значения параметра а.

2 < a² < 3, √2 < ∣a∣ < √3, a ∈ (-√3; -√2) ∪ (√2; √3).



Если a² ≥ 2, то график функции f(x) имеет вид последнего рисунка. Очевидно, что и в этом случае никаких точек экстремума нет.

Очередной раз возникает вопрос: "Где взять аналогичные задачи для работы с учащимися?". Конечно, можно скачать много подготовительных вариантов и таким образом накопить соответствующий материал.

Однако еще советской методики математики П.М. Эрдниев предлагал учащимся (а, значит, и учителям) учиться составлять такие задачи самим. Не буду распространяться о полезности таких упражнений. Думаю, что это высший пилотаж в работе учителя и ученика. Но как составить упражнений аналогичные рассмотренному выше?

Ответ: a ∈ (-√3; -√2) ∪ (√2; √3).