В этой заметке будет рассказано о решении тестового задания типа С5, связанного с целыми числами из варианта для подготовки 2012 года.

При каких значениях х оба числа и целые?

Решение. Пусть а = , b = . Тогда

a(1 + x) = 1 - x,
x(a + 1) = 1 - a,

x = (a ≠ 1).


Тогда b = .



Переформулируем условие задачи "в терминах а и b".


Выясним при каких целых значениях а ≠ 1 рациональная дробь -b = принимает только целые значения?

Очевидно, что модуль числителя последней дроби должен быть не меньше модуля знаменателя этой дроби.

∣a² + a - 1∣ ≥ ∣2а² - 6a - 1∣,

(a² + a - 1)² ≥ (2а² - 6a - 1)²,

(a² + a - 1)² - (2а² - 6a - 1)² ≥ 0,

(a² - 7a)(3a² - 5a - 2) ≥ 0,

Разложив трехчлен 3a² - 5a - 2 на множители получим

a(a - 7)(3a + 1)(a - 2) ≥ 0,

a ∈ [-1/3; 0} ∪ [2; 7]. Так как а - целое число, то а ∈ {0; 2; 3; 4; 5; 6; 7} .

При а = 0 b = -1 и x = 1
При а = 2 b = 1 и x = -1/3
При а = 3 b = -11 и x = -1/2
При а = 4 b = 19/20
При а = 5 b = 29/19
При а = 6 b = 41/35
При а = 7 b = 1 и x = -3/4

Ответ: 1; -1/3; -1/2; -3/4.

Это задание будет трудным только тем учащимся, которые не имеют соответствующего опыта решения подобных задач.

Такие задачи практически не встречаются в школьных учебниках. Как может рядовой учитель научит своих питомцев их решать, если у него нет соответствующего набора таких задач. Если приемы конструирования таких упражнений? Ответ на этот вопрос мне не известен. Однако, думаю, что такие приемы можно придумать.