1) Может ли мое приложение иметь доступ к файлам, расположенным на сетевых дисках?

Да.

2) Когда я попытался это сделать, программа выдала сообщение об ошибке "Not initialized for accessing network files" (не инициализировано для доступа к сетевым файлам).

Вероятно вам необходимо задать правильный путь к каталогу в поле 'NET DIR' файла IDAPI.CFG. Директория должна быть одна и быть доступна всем пользователям приложения с применением одинаковых подключенных сетевых дисков. (т.е.: если NET DIR указывает на F:\PUBLIC\NETDIR, пользователи с подключенным сетевым диском и имеющим путь G:\NETDIR доступа не получат).

3) Возможно ли запустить приложение, относящееся к описываемой категории, с сетевого диска без установленного на локальной машине BDE (за исключением возможных ссылок в локальном файле WIN.INI на копии элементов программы BDE/IDAPI, расположенных на сетевом диске)?

Да. Установите BDE в сети и затем добавьте следующие секции в файл WIN.INI каждой рабочей станции:
[IDAPI]
CONFIGFILE01=F:\IDAPI\IDAPI.CFG
DLLPATH=F:\IDAPI

[Borland Language Drivers]
LDPath=F:\IDAPI\LANGDRV

...пути должны отражать текущее месторасположение каталога IDAPI.

4) Для установки "NET DIR" мне нужно запустить BDECFG на каждой рабочей станции или просто сделать это на "сервере"?

C помощью утилиты BDECFG отредактируйте файл IDAPI.CFG и сохраните его в сетевом каталоге IDAPI. Следовательно, вам необходимо проделать данную операцию всего-лишь один раз.

5) Если мне нужно сделать это только на сервере, то как все рабочие станции узнают о месторасположении сетевых файлов ("NET DIR")?

Рабочая станция открывает файл IDAPI.CFG из каталога, указанного в WIN.INI, и уже оттуда читает настройки NET DIR.