Я уже, кажется, писал, что меня в моих студентах, обучающихся на инженеров, удивляет несоответствие высоких математических знаний и умений решать математические задачи, с уровнем умения эти знания применять там, где формулировки задач отличаются от стандартной формулировки математического учебника. Тут им не хватает не только высшей математики, но создаётся впечатление, что они не знакомы и с алгеброй, хотя это не так. Проблема видимо в том, что физические формулы им как-бы представляются оторванными друг от друга. Им не получается построить мысленную модель задачи, где были бы связаны воедино разные важные для конкретной задачи физические закономерности, соответственно, формулы.
И я пытаюсь учить студентов связывать разные явления в одну модель. Вот пример. Студенты изучили как зависит скорость распростраения поперечной волны в струне от натяжения и линейной плотности струны. Уровень знание моих "инженерных" студентов достаточный, чтобы им не объяснять, как подставлять исходные данные в формулу. Но вот если перекинуть один конец струны через блок и подвесить там в поле тяжести некоторую массу, то уже нужно догадаться, что натяжение создается весом этой массы. И хотя студенты в прошлом семестре изучали механику и они знают, что такое блок, самостоятельно догадываются об взаимосвязи натяжения струны и веса груза с большим трудом. Так я и придумываю новые задачи, связывая разные явления в одной задаче. Не могу эти задачи назвать олимпиадными. Олимпиадные задачи - это особый слой задач, трудно формулируемый. Другой пример задачи: Космическая межпланетная станция для создания искусттвенной тяжести, состоит из вращающейся системы двух кабин, массами м1 и м2, соединенных тросом. Известны параметры этого троса: длина, масса, модуль Юнга его материала. Какие механические устойчивые, резонансные колебания могут возникнуть в этой системе при внешнем периодическом механическом воздействии?
Также мне кажется полезным объединие общей идеей математически-похожих расчетов для разных физических явлений. Главные идеи, это то, что величины можно складывать, умножать, делить - их мы принимаем "по умолчанию". Но уже здесь можно составит задачу, которая поставит в тупик некоторых студентов. Вот, например: Твердое тело (или жидкость) массой в 20 килограм, состоящее из вешества с плотностью 2 грамма на кубический сантиметр и имещее температуру 20 градусов, разделили на две равных части. Какова масса, плотность и температура каждой части?
Вроде бы только сложение и вычитание используется для скоростей при переходе из одной системы отсчета в другую, но все мои студенты из года в год не могут самостоятельно решить следующую задачу. Если мячик налетает на неподвижный массивный объект - стенку, двигаясь по нормали к поверхности стенки, то, отскакивая, он получает такую же скорость, какая была у него до соударения, но направленную в обратном направлении.
Какова будет скорость мяча после соударения, если мячик первоначально покоится, а на него налетает эта массивная стенка с известной скоростью, напрвленной перпендикулярно поверхности стенки?
Другая важная для понимания физики идея - это взвешенное среднее. Это и центр тяжести - среднее координат, и средняя скорость одного объекта, менющего скорость ...
Можно продолжить применение той же формулы взвешенного среднего и к другим явлениям:
1) скорость после абсолютно неупругого соударения;
2) конечная температура тел, приведённых в контакт;
3) величина сопротивления резистора, для соединения одинаковых резисторов, заменяющих по эквивалентному сопротивлению такое же количество разных резисоров;
4) коэффициент упругости пружинки для системы одинаковых пружин, имеющих вместе общий коэффициент упругости такой же как у системы с таким же количесвом, но разных пружин.
5) плотность раствора нескольких жидкостей с разными плотностями, если при растворении не происходят химические реакции и полный объем не изменяется;
6) равновесная температура на контактном стыке двух концов двух теплопроводников, имеющих разные длины, площади поперечного сечения и коэффициенты теплопроводности, если другие концы приведены в контакт с массивными телами с бесконечной теплопроводностю и разными температурами. (В этой задаче ещё делаем допущение, что на контактном стыке двух теплопроводников расположили тонкую прокладку, покрывающую торцевые концы теплопроводников и имеющую бесконечную теплопроводность) .
Во всех этих задачах конечная формула, в зависимости от деталей постановки задач, вычисляет взвешенное среднее для исходных величины или для их обратных величин. Было бы интересно продолжить список таких явлений и задач, где конечная формула выглядит как взвешенное среднее. Надеюсь, что Вы подключитесь к этому поиску. Инресно, что в оптике для тонкой линзы 1/о + 1/и = 1/ф, где о - положение объекта относительно линзы, и - положение изображения, Ф - фо кусное расстояние, формула выглядит как формула для эквивалентого сопротивления двух параллельных сопротивлений, но я не смог найти объяснение этому, исходя из идей взвешенного среднего. И интересно также продолжить поиск на задачи, где применяется среднее квадратичное взвешенное, или иное среднее взвешенное, типа f(x)= (a1*f(x1) + a2*f(x2) + a3*f(x3) + ...)/(a1+a2+a3+ ...)
(138 Kb) - Updated, 2011 Edition
(832 KB)
(32 KB)
