to stop =>

1. останавливаться / остановиться / прекратиться:

Do the buses stop here? => Автобусы останавливаются здесь?

My watch has stopped. => Мои часы остановились.

The rain has stopped. => Дождь прекратился.

2. прекратить выполнять действие, если с герундием:

She stopped reading. => Она перестала читать (прекратила чтение).

3. остановиться (чтобы выполнить какое-то действие), если с инфинитивом:

They stopped to rest. => Они остановились (, чтобы) отдохнуть.

to stay =>

1. остановиться (в гостинице / на ночлег / у кого-либо); используется в форме Continuous Present:

I am staying at my mother's. => Я остановился у мамы.

Where are you staying? => Где вы остановились?

We are staying at the hotel. => Мы остановились в гостинице.

She is staying at her relatives'. => Она остановилась у родственников.

Изучение английского языка : Останавливаться