Треугольник Паскаля:


Свойства формул:

На примере разложений: (a + x)⁴ = a⁴ + 4a³x + 6a²x² + 4ax³ + x⁴   и   (a + x)⁵ = a⁵ + 5a⁴x + 10a³x² + 10a²x³ + 5ax⁴ + x⁵
                                                 

1. Показатели степеней первого слагаемого уменьшаются на 1. Показатели степеней второго слагаемого увеличиваются на 1. Сумма показателей каждого слагаемого равна показателю степеней бинома.

2. Число всех членов разложения на 1 больше показателя степени бинома.

3. Коэффиценты членов разложения, равноудаленных от концов разложения - равны между собой. (Они совпадают с числами соотвествуещей строки Треугольника Паскаля).

4. Если показатели степени бинома чётные, то посередине разложения (равно, как и строки Треугольника Паскаля) будет одно слагаемое с наибольшим коэффицентом . Если показатели степени бинома нечётные, то посередине будут двое слагаемых с равными и наибольшими коэффицентами.

5. для n=4: 1+4+6+4+1=16; 16=2⁴
    для n=5: 1+5+10+10+5+1=32;  32=2⁵

Отсюда: суммы всех биномиальных коэффицентов равна 2ⁿ, где n - показатель степени бинома.

6. Сумма биномиальных коэффицентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биномиальных коэффицентов, стоящих на чётных местах. Каждая из этих сумм вычисляется по формуле 2^n-1.

---

* Бином - (латынь: bis - два, nomen - имя) двучлен.