Как правило, нам легко даётся усвоение или обработка новой информации, если нам удаётся её себе мысленно представить. Иначе говоря, создать (в голове или хотя бы на бумажке) образ того, о чём идёт речь. В этом нам помогает ассоциативное мышление: из кусочков прежнего опыта мы пытаемся лепить модель того, что пытаемся усвоить или решить.

Проблемы возникают тогда, когда модель либо вообще не получается построить (то есть мы не можем обнаружить никакой связи с прежним опытом), либо она никак не желает удовлетворять каким-либо существенным начальным условиям. Ведь мы всегда пытаемся идти от общего к частному, чтобы ненароком чего-нибудь не упустить.

Вот, например, попросили тут меня решить задачку не знаю для какого класса по геометрии:


Что мы обычно прежде всего делаем? Строим модель, то есть в данном случае чертёж. Что там у нас дано? Выпуклый четырёхугольник. Старательно рисуем выпуклый четырёхугольник в общем виде, стараясь, чтобы он ненароком не получился ни трапецией, ни параллелограммом. Примерно такой:


Это и есть наша модель в общем виде. Но, как можно убедиться, тут расстояние между серединами диагоналей явно меньше, чем расстояние между серединами двух любых сторон. И можно хоть десять листов замостить разными произвольными четырёхугольниками — могу поспорить, более-менее правильного чертежа так и не получится. На этом мы задачу, скорее всего, бросим, потому что мы так и не смогли представить себе, как выглядит её условие, а без этого зацепиться решительно не за что.

Как же быть? Ну, раз не получается от общего к частному, надо идти обратно, от частного к общему. Взять простой частный случай (самый-самый простой и самый-самый частный из тех, что не противоречат начальным условиям) и плясать от него. В контексте нашей задачи таким самым-самым частным случаем будет равнобедренная трапеция (ведро, вид сбоку). "Ещё более частные" — параллелограмм, прямоугольник или квадрат — не подходят, поскольку середины диагоналей у них совпадают.


Как мы видим на рисунке, увеличивая или уменьшая одно только нижнее основание трапеции, мы можем добиться, чтобы условие задачи выполнялось. Вот мы и построили хорошую, модель, не противоречащую условию задачи. И видно, и легко доказывается, что правильный ответ — 90°.

Если говорить о школьных задачах, то и на этом уже по-хорошему можно остановиться. А можно пойти дальше, попробовав решить задачу уже в общем виде. Нарисуем теперь снова "произвольный" выпуклый четырёхугольник, но у которого угол между двумя противоположными сторонами равен 90°:


Вот это и будет наша общая модель. Если бы мы сообразили построить такой чертёж сразу, то все проблемы бы сразу отпали. Утомлять общим решением задачи не буду, интеллектуальных изысков в нём нет.

Вообще, все проблемы при понимании математики (а также многих разделов физики, химии и прочих наук) сводятся к тому, что предмет её изучения нельзя толком увидеть и пощупать, а порой даже приблизительно представить. Но стоит хоть каким-то боком опереться на знакомые, более простые понятия и образы, и всё становится намного проще.

Вот, скажем, теорема Остроградского—Гаусса гласит, что поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью. Никаких образов в голове не возникает, полный мрак, нихрена не понятно. А на самом деле, если совсем просто, суть этой теоремы в том, что скорость потока воды из крана равна изменению её количества в наполняемом ведре (вот опять оно вылезло). Очень-очень частный случай, но зато всё сразу понятно.

Проще надо быть. Я однажды проверил на собственном репетиторском опыте: весь кастрированный курс высшей математики, читаемый в МИФИ студентам юридической сексуальной ориентации, объясняется при помощи яблока и бутылки водки. Между прочим, та жертва моих ассоциативных рядов в итоге красный диплом получила.

http://live.mephist.ru/?mid=1348962289