В статье дано простое доказательство того, что отображение компактного метрического пространства в себя, не уменьшающее расстояния, является изометрией.

---

Отображение $$ метрического пространства с метрикой $$ называют изометрией, если для любых $$ справедливо равенство $$. Мы докажем здесь следующее утверждение:

Теорема. Если $$ отображение компактного метрического пространства в себя, такое что

$$

для любых $$, то отображение $$ — изометрия.

Напомним некоторые простые утверждения о метрических компактах и введём некоторые соглашения и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Через $$ будем обозначать количество элементов конечного множества $$.

Для $$ и $$ множество $$ назовем $$-окрестностью точки $$ (или открытым шаром с центром в точке $$ и радиусом $$).

Конечное множество $$ назовём $$-сетью в $$ (или просто $$-сетью), если для любой точки $$ найдётся точка $$ такая, что $$. Множество $$ назовём $$-разреженным, если $$ для любых $$, таких, что $$.

Для любого конечного множества $$ обозначим через $$ сумму $$. Величину $$ назовём длиной множества $$.
Читать дальше ->

https://habr.com/post/417225/?utm_source=habrahabr&utm_medium=rss&utm_campaign=417225