Vesper: Нет, чтобы задать точку на [0, 1], достаточно счетного количества разрядов.
А что не так с непрерывностью? Вроде как она вполне себе следует из определения каждой функции, значение которой меняется не более чем в n-м разряде при изменении аргумента не более чем в 2*n-м разряде. Вполне себе вписыввается в определение непрерывности.

https://forum.sources.ru/index.php?showtopic=381032&view=findpost&p=3845859