Новые факты из жизни многогранников и пирожков
Часто простые на вид вопросы оказываются нетривиальными
Николай Долбилин — ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН, профессор мехмата МГУ. Несколько лет назад он сформулировал гипотезу, на первый взгляд противоречащую здравому смыслу: из развертки любого многогранника, в том числе даже выпуклого, можно склеить другую невыпуклую фигуру большего объема. Эта геометрическая теорема получила строгое обоснование. Причем доказали ее одновременно и разными методами студент МГУ ученик Долбилина Гурий Самарин и профессор Массачусетского технологического института Игорь Пак.
— Николай Петрович, как вам пришла в голову такая неожиданная теорема?
— Примерно в 1994-95 годах я работал над популярной статьей о многогранниках и их развертках и одновременно проводил с ними эксперименты. Именно тогда я заметил, что тетраэдрический пакет — в таких пирамидках когда-то продавали молоко — можно смять так, что получится невыпуклая емкость заметно (на 38%) большего объема. Я тогда это не опубликовал, а вскоре американец Дэвид Бликер доказал этот факт для выпуклых многогранников с треугольными гранями. Позднее я понял, что эта теорема должна быть верна для любых многогранников.
Тетраэдрический пакет можно смять так, что получится невыпуклая емкость большего объема
— Это очень странно: как если бы зубная паста не выдавливалась, а втягивалась в тюбик при его сжатии.
— Ну, если давить в «правильных» направлениях, то так и будет. Мой коллега Николай Андреев проиллюстрировал увеличение пирамиды анимационным роликом, он выложен на очень интересном сайте
www.etudes.ru, где вообще представлено много примеров красоты и практичности «скучной и абстрактной» математики.
— Выходит, удачная форма позволит заметно сэкономить на упаковке?
— Подобные возможности, что забавно, уже давно используют в упаковках: например, горячие пирожки в «Макдоналдсе» продают в коробочках с характерными вогнутыми торцами. А если сложить их по-другому, они превращаются в плоский двуслойный кусок картона — вырожденный многогранник безо всякого объема. Значит, когда коробка опять распрямится, ее объем вырастет! Причем этот объем всегда можно увеличить, добавляя новые и новые сгибы.
— В конце концов, наверное, получится сфера? Ведь именно она ограничивает наибольший объем при заданной площади поверхности…
— Нет. У многогранника грани плоские, его развертку можно расстелить на столе, а со сферической поверхностью без растяжения материала этого сделать нельзя. Именно поэтому любой участок Земли изображается на карте с неизбежными искажениями. Какая фигура получится из многогранника, если, деформируя его без растяжения материала, довести объем до максимума — это пока открытый вопрос, одна из интересных проблем геометрии.
— Неожиданно, что такой относительно простой вопрос находится на переднем краю исследований.
— В науке часто простые на вид вопросы оказываются совсем нетривиальными. Я специалист в приложениях геометрии к кристаллографии. Там в последнее время выяснились интересные факты. Казалось общепризнанным, что кристаллическая решетка в твердом теле определяется наличием локального порядка в соединении атомов в кристалле. Но в конце прошлого века были открыты квазикристаллические структуры, в которых локальный порядок есть, а кристаллической решетки нет. Мы, геометры из МИАНа, недавно смогли строго математически объяснить, почему в одних случаях решетка возникает, а в других — нет. При современном интересе к нанотехнологиям, которые манипулируют отдельными атомами и молекулами, это представляется особенно актуальным.
Беседовал Александр Сергеев
http://friday.vedomosti.ru/article.shtml?2008/04/25/12319
Вообще очень интересное издание. рекомендую.
