Цитата из дневника Jyj http://www.liveinternet.ru/users/jyj/post138764691/

Фрактальность натуральных чисел

 

 

---

 

   Очень моден нынче термин – фрактал, фрактальность, в смысл которого, как правило, вкладывается принцип самоподобия, т.е. это когда часть\части некого объекта подобна\ы самому объекту. Подробнее (кому это интересно) можете познакомится с материалами в сети Интернет. Одно из не строгих определений фрактала, звучит следующим образом:



Фракталалом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.



Я хочу рассказать о вещах, которые в конце 70 годов мне пришли в голову, и в дальнейшем достаточно основательно изменили мои взгляды и понимание, НА - что такое число, и как следствие, что ЖЪ из себя представляет окружающее пространство. Расскажу, и покажу на примерах как иначе можно интерпретировать натуральные числа? Что они из себя представляют если на них взглянуть в «плоскости самоподобных объектов» - фракталов натуральных чисел.

Человек, в своей жизни, количественно мерит многое. Например, длину пройденного или предстоящего пути, площадь собственного дачного участка, или чужие гектары полей, объем выпитой жидкости или кубометры сваленного мусора. В результате измерений\вычислений итогом служит как правило число. Хотя бывает и «много» или «мало», т.е. результат не в виде числа. Рассмотрим отрезок прямой линии состоящий из 5 одинаковых отрезков.

Если красный отрезок, являющийся частью заданного отрезка увеличить в пять раз или пять раз сложить его с самим собой вдоль прямой, то в результате получится заданный отрезок. Будем считать, что красный отрезок подобен заданному отрезку с коэффициентом подобия равным 5. Исходный отрезок самомподобен, т.е. состоит из частей подобных исходному отрезку. Это соответствует следующей записи в математическом виде:



N = 5*a

где N и a – числа.



Пусть, согласно некоторых соображений у нас получилось, что N = 15.

Если рассматривать в общем случае, а не конкретно данный пример с отрезком, то не важно, о чём оно это число говорит. Просто 15 и всё. Посмотрим можно ли к этому числу применить принцип самоподобия. Если некий целостный объект, состоит из частей, которые ему подобны, то он умещается в этот объект полностью несколько раз. Как например квадратик со стороной равное 1 умещается в квадратик со стороной равной 2 - 4 раза. Количество раз, которое часть умещается в целом, число строго натуральное. Число 15 имеет два сомножителя 3 и 5. При произведении которых, выполняется равенство:



15 = 3*5



Нам  из школы известно, что неважно как записать, 3 умножить на 5 или 5 умножить на 3, результат один и тот же, т.е. справедливо равенство:



3*5=5*3



В аксиоматическом поле, данная запись справедлива на основании закона коммутативности.

Если число 15 имеет 5 одинаковых составных частей, то характеристикой его части будет число 3. Если число 15 имеет 3 одинаковых составных части, то характеристикой его части в этом случае будет число 5. Такое рассуждение приводит к следующим выводам:

1.Если 15 состоит из 5 частей то 3 тождественно 15

2.Если 15 состоит из 3 частей то 5 тождественно 15

В данном случае закон коммутативности не совсем очевиден, хотя результат одинаковый, так как смысл вкладываемый в сомножители разный. Если позиционировать данную запись, допустим, первым пишется число раз, а вторым характеризующие число исходного подобия, то закон коммутативности не выполняется, т.е. 3*5 не равно 5*3.

Рассмотрим 1 вывод, так как в нашем примере с отрезком исходное подобие 3 укладывается в исходный объект 5 раз. Зададимся следующим вопросом: Если часть подобна целому, то может часть так же состоит из подобных частей? Допустим да. Тогда исходным объектом уже служит, число 3, а исходным подобием некое число a(1), тогда будет справедлива следующая запись:



3 = 5*a(1)



где а(1) есть числовая характеристика исходного подобия , из которой состоит объект характеризующийся числом 3. Коэффициент подобия остаётся прежним, тем самым сохраняется структурное формирование целого.



Примечание:



Большое в малом и малое в большом! или Большое подобно малому, так же как и малое подобно большому!.



Продолжим процесс далее:



а(1) = 5*а(2)

а(2 )= 5*а(3)



В общем виде это будет выглядеть следующим образом:



а(n) = 5*a(n+1)

a(n+1) = 5*a(n+2)



Если в этих равенствах сделать замену a(n+1) на его значение, определяемое на последующем шаге, то получим следующее равенство:



3=5^n*a(n)



Заменим характеризующее число исходного подобия 3, на отношение N/5. Получим равенство, в котором исключены характеристические числа исходного подобия.



N/5 = 5^n*a(n) или N = 5^(n+1)*a(n).



В этом равенстве n+1 – обозначим, через r (n + 1 = r или n = r - 1). Это натуральное число, говорящее нам о том сколько раз часть исходный самоподобный объект 15 разбивался на подобные части. Из последнего равенства можно определить характеризующее число a(r-1) как:



a(r-1) = N/5^r.



Для первых трёх значений r = {1, 2, 3} будут числа:



a(0) = 3,    a(1) = 15/25 = 3/5,   a(2) = 15/125 = 3/25



В качестве результата  получили рациональные дроби, для которых справедлива запись:



3/25 -> 3/5  -> 3 -> 15



Т.е. все эти числа тождественны, если они укладывались на каждом этапе формируя самоподобные объекты с коэффициентом подобия равным 5.

Представим такой мир, в котором характеризующие числа неких «элементарных» частей всегда равны 1. А далее они неделимы! Допустим единичный отрезок, единичная площадь, единичный электрический заряд. Из этих единичных объектов по определённым правилам строятся более сложные, самоподобные (фрактальные) объекты. В рассматриваем мною, случае это означает, что a(n-1) = 1. Т.е. существует такой этап разбиения самоподобного объекта, при котором мы дошли до единичного размера, который далее неделим. Самоподобие закончилось! Нам необходимо найти r. Определяется оно в нашем примере из равенства:



1 = N/5^r, как r = ln(N)/ln(5) =1.682606195 , где ln – натуральный логарифм.



Что же это получается в результате? Вроде r должно быть число натуральное, а получилось не натуральное. Как понимать не целое количество этапов разбиения самоподобного объекта на подобные части? На этот вопрос я нашёл ответ, но об этом расскажу как-нибудь попозже. В классической теории фракталов, r – определяется как размерность меры.

Если рассмотреть вывод 2, то r будет равно:



1 = 15/3^r, как r = ln(15)/ln(3) = 2.46497352…



В общем случае, если задано некое натуральное число N = k*Y, где k - коэффициент подобия, то справедливо для классического определения в теории фракталов «размерности меры» следующее равенство:



r = ln(N)/ln(k)



Для простых чисел (3, 5, 7, 11 и т.д.) n = 0, т.е. простое число как объект  - так же прост, его исходное подобие равно 1.



В качестве ещё одного примера приведу число 231, которое в качестве натуральных сомножителей имеет числа 3, 7, 11.



В этом случае в качестве коэффициентов подобия могут служить уже не два числа, как в верхнем примере, а 6 чисел:



k1 = 3

Y1 = 77 – подобие так же является самоподобным объектом

k2 = 7

Y2 = 33 – подобие так же является самоподобным объектом

k3 = 11

Y3 = 21 – подобие так же является самоподобным объектом



k4 = 3*7 = 21, Y4 = 11 

k5 = 3*11 = 33, Y5 = 7

k6 = 7*11 = 77, Y6 = 3



Для этих вариантов «размерность меры» будут следующие:



r1 = ln(231)/ln(3) = 4.953902087

r2 = ln(231)/ln(7) = 2.79684944

r3 = ln(231)/ln(11) = 2.269664473

r4 = ln(231)/ln(21) = 1.787609657

r5 = ln(231)/ln(33) = 1.556529656

r6 = ln(231)/ln(77) = 1.25291471



Продолжение следует

---

 

Серия сообщений "Математика":

Часть 1 - Число Пи
Часть 2 - Греко-латинский квадрат
...
Часть 4 - Системы исчисления
Часть 5 - Семь раз отмерь – один раз отрежь!
Часть 6 - Фрактальность натуральных чисел