Сегодня самой пришлось пройти этот путь, правда через И-нет (вела человека, который ловил свою машину). Излагаю данные (только для авто, эвакуированных в Москве).

Этап 1.
Куда звонить:
(495) 504-17-24 - Городская служба перемещения транспортных средств.
 

Что узнавать: адрес, где оплатить штраф и куда ехать за машиной (адрес штрафстоянки).
Чаще всего эти данные оператор называет без всяких вопросов, как только услышит номер машины. Соответственно:
Что говорить: номер т/с (никакой дополнительной информации от меня не потребовали).

Этап 2. Едем оплачивать штраф

Нам повезло, в 20.00 отделение ГИБДД на ул. А. Солженицина, 6 работало (по сведениям местных сотрудников они работают круглосуточно). Там же нашлись и терминалы для моментальной оплаты штрафов.

При себе иметь: Паспорт, права, свидетельство о регистрации ТС, 300р для оплаты штрафа

Что сделать: оплатить штраф.
Взять от ГИБДД: протокол о задержании ТС, акт-разрешение на возврат автомобиля и квитанцию на оплату штрафа.
 

Этап 3. С полученными от ГИБДД документами забираем машину со штрафстоянки.

Самое тяжелое в этой ситуации - добраться до стоянки. В остальном при наличии перечисленных документов  - проблем нет. При этом стоит учитывать, что первые сутки стоянки - бесплатно. На вторые - 40р час, третьи - 80.
В первые сутки все приключение обходится владельцу авто в 300 руб. штрафа.