-Рубрики

 -Поиск по дневнику

Поиск сообщений в mexmatovec

 -Подписка по e-mail

 

 -Статистика

Статистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
Создан: 20.10.2013
Записей:
Комментариев:
Написано: 6

Записи с меткой множества

(и еще 309 записям на сайте сопоставлена такая метка)

Другие метки пользователя ↓

лекции матан множества

Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)

Дневник

Воскресенье, 20 Октября 2013 г. 18:25 + в цитатник
Обозначения.

Для любого элемента а множества А выполняются следующие свойства.
∀a∈А

Существует элемент а множества А
∃а∈А

Множество А называется подмножеством В, если любой элемент а множества А, принадлежит множеству В.
(А⊂В)≝(∀a∈А; a∈B)

Разность множеств.

(А\В) - называется множество, состоящие из всех элементов А, не принадлежащих множеству В.

А\В≝{a∈А; a∉B}
4 (139x92, 1Kb)

Множество из двух элементов
{a,b}={b;a}

Упорядоченной парой - называется множество, состоящее из двух элементов, с указанием их порядка.
(а,b)≠(b,a)


Декардовым или прямым произведением множеств А и В, называется множество всевозможных пар, таких, что первый элемент принадлежит множеству А, а второй множеству В.
А×В={(a,b):a∈A,b∈B}
R×R=R² - Если множества одинаковы.

Любое подмножество декардного произведения А×В называется бинарным отношением между множествами А и В.

Проекция бинарного отношения.
Пусть ϱ⊂А×В, первой проекцией бинарного отношения ϱ, называется множество a∈A, для которого существует элемент b∈B, притом, что (а,b)∈ϱ⊂А×В,

pz1ϱ≝{a∈A:∃b∈B; (a,b)∈ϱ}
pz2ϱ≝{b∈A:∃a∈A; (a,b)∈ϱ}

Второй проекцией бинарного отношения ϱ, называется элемент b∈B, для которого существует элемент a∈A, притом, что (а,b)∈ϱ

Пусть а∈pzϱ с сечением бинарного отношения ϱ по элементу, называется множество элементов b∈B, таких, что (а,b)∈ϱ


Функцией называется бинарное отношение для которого любое сечение по элементам первой проекции, содержит единственный элемент.

Первая проекция функции, называется областью определения функции, а вторая областью значений.

Элементы области определения называются аргументами функции. А элементы области значений - значением этой функции.

b=f(a);

Множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, ...} - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом. За числом n в натуральном ряде непосредственно следует n + 1, между n и n + 1 других k ∈ N нет.
При N-числе: a+x=b, если b>a, то имеет решение.

Множество целых чисел Z ={0}⋃{ n, -n | n ∈N}. Тогда уравнение a+x=b имеет решение всегда, но уравнение a*x=b имеет решение, если b/a=a.

Множество рациональных чисел Q = {m/n | m ∈ Z, n ∈ N}. Тогда уравнение a*x=b имеет решение всегда, кроме а=0 (а≠0).
x²=a, не имеет решений, если а не является квадратом рационального числа или число а<0.
Док-во:
Пусть а≥0, допустим, что уравнение x²=2 имеет смысл.
Тогда
(p/q)²=2;
p²=2*q²
p=2*p1
4*p1²=2*q²
2*p²=q², тогда q=2q1;
Получим, что в несократимой дроби два числа делятся на два, что противоречит условию.

R - множество действительных чисел.
Пусть R≠∅, тогда в этом множестве определено две операции "+" и "*"
∀a,b∈R; ∃c∈R; a+b=c;
∀a,b∈R; ∃d∈R; a*b=d;

Серия сообщений "Учеба":
Часть 1 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)
Часть 2 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)
Часть 3 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)

Серия сообщений "Матан":
Часть 1 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)
Часть 2 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)
Часть 3 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)


Метки:  

Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)

Дневник

Воскресенье, 20 Октября 2013 г. 17:25 + в цитатник
Равенство Множеств.
Множество А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
(А = В) ≝ ((а ∈ А) ⇔ (а ∈ В))
Формальная запись определения равенства множеств.
Пустое множество.
Пустым множеством называется множество, которое не содержит никаких элементов. ∅— пустое множество.
Аксиомы:
Ⅰ.
1˚ Аксиома коммутативности для операции A ⋃ B
A ⋃ B = B ⋃ A
2˚ Аксиома ассоциативности для операции A ⋃ B
(A ⋃ B )⋃ С = A ⋃ (B⋃С)
3˚ A ⋃ ∅ = А
Ⅱ.
1˚ Аксиома коммутативности для операции A ∩ B
A ∩ B = B ∩ A
2˚ Аксиома ассоциативности для операции A ∩ B
(A ∩ B )∩ С = A ∩ (B∩С)
3˚ A ∩ ∅ = ∅
Свойство дистрибутивности.
Ⅲ.
1˚ Аксиома дистрибутивности A ∩ B относительно A ⋃ B
A ∩ (B ⋃ С)⇔(A ∩ B) ⋃ (A ∩ С)
Безымянный (577x235, 10Kb)

2˚ Аксиома дистрибутивности A ⋃ B относительно A ∩ B
A⋃(B∩С)=(A⋃B)∩(A⋃С)


Безымянный2 (338x152, 7Kb)


Пусть А={...}∈ X, дополнением множества А в множестве Х называется множество тех элементов множества Х, которое не принадлежит (∉) множеству А.
Означает:

3 (174x94, 2Kb)
Если А=Х, то ⇒ (А'=∅)
Если А=∅, то ⇒ (А'=Х)

Серия сообщений "Учеба":
Часть 1 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)
Часть 2 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)
Часть 3 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)

Серия сообщений "Матан":
Часть 1 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)
Часть 2 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)
Часть 3 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)


Метки:  

Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)

Дневник

Воскресенье, 20 Октября 2013 г. 16:47 + в цитатник
Множество - первичное математическое понятие, которому не может быть дано строгое математическое определение. Часто множество определяют как «совокупность объектов, объединенных общим свойством».
Объект - это элемент множества.
a ∈ A (объект а принадлежит множеству А)
a ∉ A (объект а не принадлежит множеству А)
А {a,c,d} - множество А, состоящее из элементов.
1. Объединение множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит либо множеству А, либо множеству В:
A ⋃ B (Объединение множеств А и В: (x ∈ A) ∨ (x ∈ B));
2. Пересечение множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит как множеству А, так и множеству В:
A ∩ B (Пересечение множеств А и В: (x ∈ A) ∧ (x ∈B));
Математическая логика:
∧ - логическая операция «и»
∨ - логическая операция «или»
⇒ - импликация, следует. «влечёт» или «если…, то» (Пример: A ⇒B, означает «если A верно, то B также верно»).
⇔ - равносильность «если и только если» или «равносильно», эквивалент. (Пример: A ⇔ B означает «A верно тогда и только тогда, когда B верно»).
≝ - равенство по определению.
(а ∈ А ⋃ В)≝ ((а ∈ А) ∨ (а ∈ В))
Формальная запись определения объединения.
(а ∈ А ∩ В)≝ ((а ∈ А) ∧ (а ∈ В))
Формальная запись определения пересечения.

Серия сообщений "Учеба":
Часть 1 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)
Часть 2 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)
Часть 3 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)

Серия сообщений "Матан":
Часть 1 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 1)
Часть 2 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 2)
Часть 3 - Матан. Лекция 1. Множества. (часть 3)


Метки:  

 Страницы: [1]