-–убрики

 -ѕриложени€

 -¬идео

 -‘отоальбом

ѕосмотреть все фотографии серии ќбща€
ќбща€
00:18 25.12.2011
‘отографий: 21

 -Ўутливый гороскоп блоггера

 -ѕоиск по дневнику

ѕоиск сообщений в  ифар

 -ѕодписка по e-mail

 

 -ѕосто€нные читатели

 -—татистика

—татистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
—оздан: 16.06.2010
«аписей:
 омментариев:
Ќаписано: 26

—ери€ сообщений "фрактал":
„асть 1 - ¬»ƒџ ‘–ј “јЋќ¬

¬ыбрана рубрика фрактал.


ƒругие рубрики в этом дневнике: —тихи(0), кулинари€(0), anime(0)

¬»ƒџ ‘–ј “јЋќ¬

ƒневник

ѕонедельник, 05 ƒекабр€ 2011 г. 17:25 + в цитатник

 

–ешЄтка —ерпинского.

Ёто один из фракталов, с которыми экспериментировал ћандельброт, когда разрабатывал концепции фрактальных размерностей и итераций. “реугольники, сформированные соединением средних точек большего треугольника вырезаны из главного треугольника, образовыва€ треугольник, с большим количеством дырочек. ¬ этом случае инициатор - большой треугольник а шаблон - операци€ вырезани€ треугольников, подобных большему. “ак же можно получить и трехмерную версию треугольника, использу€ обыкновенный тетраэдр и выреза€ маленькие тетраэдры. –азмерность такого фрактала ln3/ln2 = 1.584962501.

„тобы получить ковер —ерпинского, возьмем квадрат, разделим его на дев€ть квадратов, а средний вырежем. “о же сделаем и с остальными, меньшими квадратами. ¬ конце концов образуетс€ плоска€ фрактальна€ сетка, не имеюща€ площади, но с бесконечными св€з€ми. ¬ своей пространственной форме, губка —ерпинского преобразуетс€ в систему сквозных форм, в которой каждый сквозной элемент посто€нно замен€етс€ себе подобным. Ёта структура очень похожа на разрез костной ткани.  огда-нибудь такие повтор€ющиес€ структуры станут элементом строительных конструкций. »х статика и динамика, считает ћандельброт, заслуживает пристального изучени€.


 –ешЄтка —ерпинского.

 

√убка —ерпинского.

 

“реугольник —ерпинского.

Ќе перепутайте этот фрактал с решеткой —ерпинского. Ёто два абсолютно разных объекта. ¬ этом фрактале, инициатор и генератор одинаковы. ѕри каждой итерации, добавл€етс€ уменьшенна€ копи€ инициатора к каждому углу генератора и так далее. ≈сли при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы зан€л всю плоскость, не оставив ни одной дырочки. ѕоэтому его фрактальна€ размерность ln9/ln3 = 2.0.

 

 “реугольник —ерпинского.

 

 рива€  оха.

 рива€  оха один из самых типичных детерминированных фракталов. ќна была изобретена в дев€тнадцатом веке немецким математиком по имени ’ельге фон  ох, который, изуча€ работы √еорга  онтора и  арла ¬ейерштрассе, натолкнулс€ на описани€ некоторых странных кривых с необычным поведением. »нициатор - пр€ма€ лини€. √енератор - равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Ёти треугольники добавл€ютс€ к середине каждого сегмента снова и снова. ¬ своем исследовании, ћандельброт много экспериментировал с кривыми  оха, и получил фигуры такие как ќстрова  оха,  ресты  оха, —нежинки  оха и даже трехмерные представлени€ кривой  оха, использу€ тетраэдр и прибавл€€ меньшие по размерам тетраэдры к каждой его грани.  рива€  оха имеет размерность ln4/ln3 = 1.261859507.

 

  рива€  оха.

 

‘рактал ћандельброта.

Ёто Ќ≈ множество ћандельброта, которое можно достаточно часто видеть. ћножество ћандельброта основано на нелинейных уравнени€х и €вл€етс€ комплексным фракталом. Ёто тоже вариант кривой  оха несмотр€ на то, что этот объект не похож на нее. »нициатор и генератор так же отличны от использованных дл€ создани€ фракталов, основанных на принципе кривой  оха, но иде€ остаетс€ той же. ¬место того, чтобы присоедин€ть равносторонние треугольники к отрезку кривой, квадраты присоедин€ютс€ к квадрату. Ѕлагодар€ тому, что этот фрактал занимает точно половину отведенного пространства при каждой итерации, он имеет простую фрактальную размерность 3/2 = 1.5


 ‘рактал ћандельброта.

 

 рива€ ƒракона.

»зобретенна€ италь€нским математиком ƒжузеппе ѕеано,  рива€ ƒракона или ¬змах ƒракона, как он назвал его, очень похож на колбасу ћинковского. »спользован более простой инициатор, а генератор тот же самый. ћандельброт назвал этот фрактал –ека ƒвойного ƒракона. ≈го фрактальна€ размерность приблизительно равна 1.5236.

 

 ƒракон ƒжузеппе ѕеано.

 

ћножество ћандельброта.

ћножества ћандельброта и ∆юлиа, веро€тно, два наиболее распространенных среди сложных фракталов. »х можно найти во многих научных журналах, обложках книг, открытках, и в компьютерных хранител€х экрана. ћножество ћандельброта, которое было построено Ѕенуа ћандельбротом, наверное перва€ ассоциаци€, возникающа€ у людей, когда они слышат слово фрактал. Ётот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми област€ми, генерируетс€ простой формулой


Zn+1=Zna+C, где Z и C - комплексные числа и а - положительное число.

ћножество ћандельброта, которое чаще всего можно увидеть - это множество ћандельброта 2й степени, то есть а=2. “от факт, что множество ћандельброта не только Zn+1=Zn≤+C, а фрактал, показатель в формуле которого может быть любым положительным числом ввел в заблуждение многих. Ќа этой странице вы видите пример множества ћандельброта дл€ различных значений показател€ а.

“акже попул€рен процесс Z=Z*tg (Z+C). Ѕлагодар€ включению функции тангенса, получаетс€ множество ћандельброта, окруженное областью, напоминающей €блоко. ѕри использовании функции косинуса, получаютс€ эффекты воздушных пузырьков.  ороче говор€, существует бесконечное количество способов настройки множества ћандельброта дл€ получени€ различных красивых картинок.

 

 ћножество ћандельброта.

 

ћножество ћандельброта при а=3,5.

 


ћножество ∆юлиа.

”дивительно, но множества ∆юлиа образуютс€ по той же самой формуле, что и множество ћандельброта. ћножество ∆юлиа было изобретено французским математиком √астоном ∆юлиа, по имени которого и было названо множество. ѕервый вопрос, возникающий после визуального знакомства с множествами ћандельброта и ∆юлиа это “если оба фрактала сгенерированы по одной формуле, почему они такие разные? ” —начала посмотрите на картинки множества ∆юлиа. ƒостаточно странно, но существуют разные типы множеств ∆юлиа. ѕри рисовании фрактала с использованием различных начальных точек (чтобы начать процесс итераций), генерируютс€ различные изображени€. Ёто применимо только ко множеству ∆юлиа.

’от€ это нельз€ увидеть на картинке, фрактал ћандельброта - это, на самом деле, множество фракталов ∆юлиа, соединенных вместе.  ажда€ точка (или координата) множества ћандельброта соответствует фракталу ∆юлиа. ћножества ∆юлиа можно сгенерировать использу€ эти точки в качестве начальных значений в уравнении Z=Z≤+C. Ќо это не значит, что если выбрать точку на фрактале ћандельброта и увеличить ее, можно получить фрактал ∆юлиа. Ёти две точки идентичны, но только в математическом смысле. ≈сли вз€ть эту точку и просчитать ее по данной формуле, можно получить фрактал ∆юлиа, соответствующий определенной точке фрактала ћандельброта.

 

 ћножество ∆юлиа.


ƒерево ‘ейгенбаума.

Ћогистическое уравнение - это формула, над которой, в основном, работал ћитчелл ‘ейгенбаум при создании своей теории о фракталах. Ёта формула должна описывать динамику развити€ попул€ции:

 

f (x) = (1 - x) rx

 

ѕростейша€ модель - это пропорциональное соотношение численности с прошлым годом. ƒопустим в прошлом году у нас было x животных. ¬ этом году их должно быть rx животных. Ќо это не выполн€етс€ в реальных услови€х. Ћучшее соответствие с реальностью получитс€ если добавить фактор, завис€щий от того какой потенциал существует у попул€ции дл€ дальнейшего развити€, и пусть x - коэффициент полноты, который мен€етс€ от 0 до 1. ѕотом добавл€етс€ фактор 1 - x, так что территори€ почти полностью заполнена, попул€ци€ не возрастет выше верхнего предела.

–асшир€€ логистическое выражение, получаем:

 

f (x) = аx - ах2

 

‘ормула, использующа€с€ в программе LT Bifurcator дл€ объ€снени€ сущности фрактала ‘ейгенбаума - (1 + r) x - rx2 не сильно отличаетс€ от формулы, приведенной выше. ¬ принципе, дл€ изучени€ теории можно было использовать любую формулу, например самую простую из формул данного вида - x≤ - r. ≈динственными различи€ми €вл€ютс€ различи€ в координатах окон на картинке и несколько измененный внешний вид изображени€.


 ƒерево ‘ейгенбаума.

pic1_1 (272x179, 4Kb)


 —траницы: [1]