Найти предел Lim ∫c(x^n)d(x^n) при n стремящимся к ∞ и х принадлежит отрезку [0,1].(с(x^n) - это функция, зависящая от переменной x^n)Задача нетривиальна, ее суть не совсем понятна. Формально можно поступить так:Пусть xn= t, 0 ≤ x ≤ 1. Тогда 0 ≤ t ≤ 1, и0∫1c(xn)d(xn) =0∫1f(t)dt = F(t)|01= F(1) – F(0) = C(1) – C(0) (C – первообразная функции c(xn)). Пусть дано дифференциальное уравнение (y’ – sin2x) ∙ cos x = y ∙ sin x. Найдем его общее решение. Выполним преобразования:y’ – sin2x = y ∙ tg x, (cos x ≠ 0)y’ – y ∙ tg x = sin2x. (1)Получили уравнение вида y’ + p(x)y = g(x), которое является линейным уравнением первого порядка.Решим уравнение (1) методом Бернулли. Полагаем y = u(x)v(x). Тогда y’ = u’v + uv’. Уравнение (1) принимает видu’v + uv’ – uv ∙ tg x = sin2x,илиu’v + u(v’ – v ∙ tg x) = sin2x. (2)Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю. Для этого решим дифференциальное уравнениеv’ – v ∙ tg x = 0:dv/dx – v ∙ tg x = 0,dv/dx = v ∙ tg x,dv/v = tg x ∙ dx,ln |v| = -ln |cos x| + ln |C|.Поскольку нам достаточно одного ненулевого решения, принимаем C = 1. Тогда v = 1/cos x.Подставляя v = 1/cos в уравнение (2), получаемu'/cos x = sin2x,du/dx = sin2x ∙ cos x,du = sin2x ∙ cos x ∙ dx,∫du = ∫sin2x ∙ cos x ∙ dx,∫du = ∫sin2x ∙ d(sin x),u = (sin3x)/3 + C.Следовательно, y = uv = ((sin3x)/3 + C)/cos x – искомое общее решение.Ответ: y = ((sin3x)/3 + C)/cos x.