Всем известно, что марта 2016 года прошло досрочное ЕГЭ по математике. Это событие рассматривается многими как возможность предугадать темы последних задач ЕГЭ основного потока. Здесь я хочу рассмотреть решение задачи 18 (С6).

Задача. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на два подмножества с одинаковой суммой чисел.
а) Является ли множество {100; 101; 102; ....; 199} хорошим?
б) Является ли множество {2; 4; 8; ....; 2¹⁰⁰} хорошим?
в) Сколько хороших четырехэлементных подмножеств у множества {3; 4; 5; 6; 8; 10; 12}?


Решение
а) Так как (100 + 199) + (102 + 197) + ... + (148 + 151) = (101 + 198) + (103 + 196) + ... + (149 + 150), то {100; 199; 102; 197; ...; 148; 151} и {101; 198; 103; 196; 149; 150} разбиения множества {100; 101; 102; ....; 199} на два подмножества с одинаковой суммой чисел. Значит, множество {100; 101; 102; ....; 199} хорошее.

б) Так как 2 + 4 + 8 + ... + 2⁹⁹ < 2¹⁰⁰ (докажите самостоятельно), то для любого разбиения множества {2; 4; 8; ....; 2¹⁰⁰} на два подмножества только в одном из них содержится число 2¹⁰⁰. Поэтому сумма чисел этого подмножества будет больше чем сумма чисел другого подмножества. Значит, {2; 4; 8; ....; 2¹⁰⁰} не является хорошим.

в) Эту часть задания можно решать перебором. Сначала нужно доказать, что нет разбиений типа {a}, {d; c; d}. Затем следует перечислить разбиения типа {a; b} и {c; d}. Должен получиться ответ 8.