Решите в натуральных числах уравнение 3⋅2^х = у² - 1.

Такое уравнение я решал во время занятия с одной десятиклассницей, желающей получить хорошее математическое образование.

Известно, что тема диафантовы уравнения изучаются в средней общеобразовательной школе факультативно, но включены во многие олимпиады различного уровня для школьников. Данное уравнение, как и многие другие диафантовы уравнения, не имеет общего алгоритма решения, а есть только некоторые приемы его решения, которые можно применить к данному уравнению и, как было сказано, к не большому классу аналогичных задач.

Наше уравнение можно переписать так: 3⋅2^х = (у - 1)(y + 1).

Если бы не было множителя 3 в левой части уравнения, то можно было бы применить известный мне прием, суть которого состоит в том, что у - 1 и y + 1 стали бы делителями 2^х и, значит также имели бы вид 2^t. А дальше дело техники.

Поэтому мне надо как то избавиться от множителя 3. Это я и постараюсь сделать.

Левая часть данного уравнения делится на 3 и не делится на другую степень числа 3. Значит только один и только один из множителей у - 1 и y + 1 делится на 3. Поэтому рассмотрим два случая.

I. Пусть у - 1 делится на 3, то есть у - 1 = 3⋅2^р, где р - неотрицательное целое число. Тогда у + 1 = 3⋅2^х-р.

Здесь следует сделать некоторые пояснения. Так как числа у - 1 и y + 1 отличаются друг от друга на 2, то они оба четные или оба нечетные. Так как левая часть данного уравнения делится на 2, то числа у - 1 и y + 1 оба четные. При этом только одно из них делится 3, значит оно имеет вид 3⋅2^р.

Итак мы имеем систему уравнений



Вычитая из второго уравнения первое получим

2^х-р - 3⋅2^р = 2, 2^р(2^х-2р - 3) = 2.

Если р = 0, то имеем 1⋅(2^х - 3) = 2, 2^х = 5 - чего быть не может. Значит, р ≠ 0 и 2^р - четное число. Это возможно только при р = 1. Поэтому имеем 2⋅(2^х-2 - 3) = 2, 2^х-2 - 3 = 1, 2^х-2 = 4, х - 2 = 2, х = 4.

Подставив х = 4 исходно е уравнение получим 48 = у² - 1, у² = 49 и так y - натуральное число, то y = 7.

Итак, мы получили одно из решений данного уравнения - (4; 7).

II. Пусть у + 1 делится на 3, то есть у + 1 = 3⋅2^р, где р - неотрицательное целое число. Тогда у - 1 = 3⋅2^х-р.



Как и ранее вычитая из первого уравнения второе получим 2^р(3 - 2^х-2р) = 2.

Нетрудно доказать, что р ≠ 0. Тогда 2^р = 2 и р = 1. В этом случае 3 - 2^х-2 = 1, 2^х-2 = 2, х - 2 = 1, х = 3.

При х = 3 исходное уравнение примет вид 24 = у² - 1, у² = 25, у = 5.

(3; 5) - второе решение данного уравнения.

Ответ: (4; 7), (3; 5).