Иррациональное неравенство типа С3

Четверг, 05 Апреля 2012 г. 10:50 + в цитатник

Как известно правильное решение задания типа С3 в тестах ЕГЭ оценивается в три балла. Поэтому решение таких заданий повышает шансы абитуриента при поступлении в вуз. В этой заметке рассматривается авторское решение из подготовительного теста ЕГЭ-2012.

Решите неравенство

≤ 1 – 2x +

.

Решение. Найдем ОДЗ.

Пусть

= а, тогда ² = x + 2 + 2

а² = x + 2 + 2

+ 3x - 1; >а² = 4x + 1 + 2

;

= (а² - 4x - 1)/2. Поэтому данное неравенство примет вид

(а² - 4x - 1)/2 ≤ 1 – 2x + а; а² - 4x - 1 ≤ 2 – 4x + 2а; а² - 2a - 3 ≤ 0. Разложив левую часть последнего неравенства на множители получим

(а + 1)(а - 3) ≤ 0. Значит, -1 ≤ а ≤ 3.

-1 ≤

≤ 3 ⇔

≤ 3. Решением последнего неравенства является промежуток вида [1/3; c], где с - решение уравнения

= 3.

= 3,

x + 2 + 2

+ 3x - 1 = 9,

= 8 - 4x,

= 4 - 2x,

(x + 2)(3x - 1) = 16 - 16x + 4x²,

3x² + 5x - 2 = 16 - 16x + 4x²,

x² - 21x + 18 = 0.

Чтобы сократить время далее я воспользуюсь страницей с инструментом "Решение квадратного уравнения", которое можно получить из меню справа "Инструменты".

Нетрудно подсчитать, что x₁- посторонний корень, так как при х = x₁4 - 2х < 0. х = x₂ является корнем решаемого уравнения, так как все переходы, осуществляемые при его решении будут равносильными. Значит, ответом нашей задачи будет промежуток [1/3; x₂].

Задача для самостоятельного решения

Решите неравенство