(50)

Родоначальниками совершенно нового исследовательского подхода по праву считаются Василий С. Владимиров и Игорь В. Волович, работы которых впервые продемонстрировали важность неархимедова анализа и р-адических чисел для теоретической физики.]2[ (Строго говоря, несколько других попыток в этом духе было и до них, однако внимания коллег они привлечь не сумели.)

Уже в первой публикации Владимирова и Воловича на эту тему, в 1984, было выдвинуто и обосновано предположение, что р-адические числа можно использовать для описания пространства на планковских расстояниях. Более того, выкладки математиков свидетельствовали, что природа вообще оказывается устроена неожиданно и существенно проще, если смотреть на нее с теоретико-числовой точки зрения.

Реально важным этапом для внедрения p-адики в физику стала работа Воловича 1987 года, предлагавшая интересные подходы к использованию р-адического аппарата в теории струн. Эта статья]3[ в журнале «Классическая и квантовая гравитация» сумела привлечь внимание видных струнных теоретиков, включая Эдварда Виттена, и вызвала в международном сообществе целый поток публикаций по р-адическим струнам.

Активный интерес других исследователей в сочетании с новыми интересными результатами простимулировали развитие многих других р-адических физических моделей. Причем области приложения этого аппарата и ультраметрического анализа в целом год от года устойчиво разрастаются.

Со временем появились не только p-адические модели квантовой механики и теории поля, но также p-адические описания сложных систем типа спиновых стекол – необычного состояния твердого вещества, по своим структурным особенностям напоминающего «вихревую губку» Кельвина. Благодаря специфике своей конструкции, p-адические числа вообще оказываются очень удобным инструментом для описания самых разных систем фрактальной или гранулированной структуры.

Более того, для p-адики нашлись весьма заманчивые приложения в биологии. Чтобы стало понятнее, почему этот аспект внедрения новых подходов в науку представляется особо важным, можно процитировать известные слова Израиля М. Гельфанда, одного из главных мировых авторитетов по проблемам математического описания биологических систем.

Обыгрывая знаменитую формулировку Юджина Вигнера[MI], он сказал так: «Есть только лишь одна вещь, еще более непостижимая, чем непостижимая эффективность математики в физике. И эта вещь – непостижимая НЕэффективность математики в биологии»…

Возможно, что ключ к решению данной загадки уже получен. Как пишет об этом Сергей В. Козырев, один из известных исследователей биофизики методами p-адического анализа, «неэффективность математических методов в биологии может быть связана именно с тем, что к биологии пытались применять, как и к физике, методы вещественного анализа, в то время как базовые модели биологии, возможно, должны выражаться на ультраметрическом языке».]4[

Обоснованность этой точки зрения достаточно убедительно подтверждают успехи математиков, применяющих новые методы ультраметрического анализа к описанию генетического кода ДНК и к моделям динамики биологических макромолекул типа белков.

Перечисляя, однако, множество бесспорных успехов и достижений нового p-адического подхода, непременно следует подчеркнуть один очень важный нюанс. Каждая p-адическая модель выстраивается на основе своего собственного простого числа p. Для описания ДНК или, скажем, для криптографии очень удобна 2-адическая модель. Для других же задач это могут быть 3-, 5-, 7-, 11- или даже (вдруг кому понадобится) 1999-адические системы.

Систем таких бесконечно много, все они разные и каждая из них по сути самодостаточна. Но вот какое из чисел этого бесконечного ряда подходит для описания мира наилучшим образом – не скажет вам никто.

К счастью, направление для выхода из этой затруднительной ситуации было найдено почти сразу. В технической терминологии оно именуется адели, а по сути своей приводит все p-адические системы к демократичному равноправию.

Поначалу в высшей степени абстрактная, конструкция адельных чисел была введена в математику чуть-чуть раньше ультраметрики, на рубеже 1930-1940-х годов. Родоначальником аделей был французский математик Клод Шевалле, более всего известный как самый молодой из сооснователей знаменитой группы «Бурбаки». А также как человек, занимавшийся, по выражению его друга и коллеги Андре Вейля, максимально дегуманизированной, то есть формальной и очень далекой от жизни математикой.

Лишь только к концу 1980-х годов выяснилось – благодаря знаменитой ныне адельной формуле Фройнда-Виттена]5[ – что в действительности абстрактная конструкция Шевалле имеет самое непосредственное отношение к квантовой физике. Как говорят в подобных случаях, верная идея опередила свое время примерно на полвека (но это, впрочем, как смотреть – о чем чуть далее).

Суть устройства необычного числа под женским почему-то именем адель сводится к тому, что это вектор или бесконечная последовательность чисел, где на первом месте стоит произвольное действительное (вещественное) число, а на всех остальных – p-адические выражения для того же самого числа по всевозможным нарастающим значениям простого p.

Соотношения, записывающие произвольное число в виде бесконечного произведения по степеням простых чисел, широко используются в математике и известны под названием эйлерова представления. Преобразование величины к такому виду обычно сильно упрощает анализ.

Что же касается свойств адельных объектов, то адельная координата содержит в себе и вещественную, и все р-адические координаты. Благодаря такой составной конструкции они одновременно демонстрируют свойства архимедовой и фрактальной (неархимедовой) топологии. Но при этом адельные объекты в целом имеют сильную тенденцию быть проще, чем их архимедовы (вещественные) компоненты.

А кроме того, благодаря эйлеровым формулам произведения, воплощающим идею равноправия всех топологий, информация о вещественной компоненте адельного объекта может быть считана либо с самой этой вещественной компоненты, либо с произведения p-адических компонент для всех p.

Опираясь на этот математический аппарат, Питер Фройнд и Эд Виттен, заинтересовавшиеся работой Воловича о p-адических струнах, в 1987 году вывели важную формулу, объединившую обычную квантовую механику с р-адической и адельной математикой.

Они показали, что волновая функция, описывающая эволюцию свободной частицы в стандартной квантовой механике, может быть представлена как произведение волновых функций р-адических струн. Это соотношение иногда интерпретируют так, что энергия обычной квантовой частицы на самом деле состоит из энергий еер-адических компонентов…

Данный результат очень важен по трем, как минимум, причинам. Во-первых, стало ясно, что отыскание адельных формул для описания физических систем может существенно упрощать их анализ.

Во-вторых, объединение математики аделей с квантовой физикой к концу 1990-х годов позволило уже упоминавшемуся ранее[5.2] Алену Конну найти «почти доказательство» (точнее, красивый подход к решению) одной из величайших математических задач – гипотезы Римана о нулях дзета-функции.

Ну а в-третьих, адели указали реальный путь к целостному описанию сознания и материи как единой системы.

(51)

В 1987 году, почувствовав мощную тенденцию в процессах «погружения» (или наоборот, вознесения) физики в теорию чисел, видный русский математик Юрий И. Манин[MP] так обрисовал свое представление об открывающейся картине реальности:

На фундаментальном уровне наш мир не является ни вещественным, ни р-адическим: он адельный. По каким-то причинам, связанным с физической природой нашей разновидности живой материи (возможно, с тем, что мы состоим из массивных частиц), мы обычно проецируем адельную картину в вещественную сторону. С тем же успехом мы могли бы духовно проецировать ее в неархимедову сторону и вычислять наиболее важные вещи арифметически [по Манину, «духовная проекция» происходит в платоновский мир математических идей].

«Вещественная» и «арифметическая» картины мира находятся в отношении дополнительности, напоминающем отношение между сопряженными наблюдаемыми в квантовой механике.

Эти идеи Манина особо примечательно выглядят при их сопоставлении с высказываниями Вольфганга Паули, одного из главных персонажей в «путеводителе ТЗО». На рубеже 1940-50-х годов, подводя итог своим метафизическим размышлениям о природе мира и будущем науки, Паули писал про эти вещи так [10][13]:

По моему личному мнению, в будущей науке реальность не будет ни ментальной, ни физической, а каким-то образом обеими из них сразу, и в то же время ни той или другой по отдельности…

Наиболее важная и в высшей степени сложная задача нашего времени – заложить новую идею реальности … И самое оптимальное, если бы физика и душа представлялись как комплементарные аспекты одной и той же реальности.

Не заметить очевидные параллели в идеях Паули и Манина чрезвычайно сложно. А чтобы стало понятнее, насколько близко Вольфганг Паули находился от важнейших физико-математических открытий, происходящих только сейчас, достаточно привести такие биографические факты.

Свои идеи о едином математическом описании для материи и сознания Паули начал вынашивать под большим впечатлением от теорий Карла Г. Юнга, с которым был близко знаком с начала 1930-х годов и регулярно общался всю остальную жизнь. В годы войны, т. е. первую половину 1940-х годов, Паули работал в Принстоне, США – где в тот же период работал и «отец всех аделей» Клод Шевалле.

В эти же годы, в 1944, Карл Юнг начал работать, помимо Цюриха, еще и профессором в университете Базеля. Другим профессором этого университета был Александр М. Островский. Более того, в 1949 году этот специалист по p-адике женился на специалистке по аналитической психологии Маргарет Захс, ученице и соратнице Карла Густава Юнга. Наконец, в 1958 году и Островский, в свою очередь, стал приглашенным профессором цюрихского ETH, где постоянно работал Паули…

Короче говоря, практически все было уже готово, чтобы Паули и Островский сошлись поближе. Великий физик наверняка узнал бы побольше о p-адических числах, об аделях и об их замечательных особенностях. И конечно же, Паули заметил бы, насколько красиво структура аделей ложится на его идеи о взаимной дополнительности материи и сознания… Но ничего этого, увы, в реальности не произошло.[1C]

А получилось так, что пришлось ждать еще полвека. И то, что мы могли бы узнать о единой математической модели для физики и души уже тогда, понемногу начинает выясняться только сейчас.

В 1989 году, послушав одну из лекций Владимирова и Воловича, практическими приложениями p-адики сильно заинтересовался математик Андрей Ю. Хренников. Еще через пять лет, к 1994, став уже видным специалистом в этой области и автором известной монографии]6[ о приложениях p-адического анализа в математической физике, Хренников пришел к выводу, что занимается не совсем тем, чем следовало бы.

Весь наработанный им опыт свидетельствовал, что p-адические подходы нужны не столько для физики микромира, сколько для описания чего-то другого, какой-то другой части природы... Вряд ли это была случайность, но как раз в это же время он заинтересовался работами Зигмунда Фрейда. За чтением фрейдовых книг у Хренникова и родилась сильно захватившая его идея: создать математическую теорию, описывающую психологическое поведение и, в частности, формализующую психоанализ.

В работах Фрейда очень наглядно описывались потоки идей, представлений и желаний, причем эти потоки или «духовные объекты» выглядели ничуть не менее реально, чем объекты материальные. Духовные объекты также способны эволюционировать, с разной силой взаимодействуя друг с другом. То есть, как математический физик, Хренников интуитивно почувствовал, что наткнулся на такую динамику в ментальном пространстве, которая очень похожа на динамику материальных объектов в пространстве физическом.

Ну а дальше, как исследователю-аналитику, ему было необходимо лишь ввести подобающую систему духовных координат и математически описать ментальные потоки. Стандартные модели на основе вещественных координат, давно и активно применяемые для картографирования нейросетей мозга, Хренников отмел очень решительно – как неподходящие по целому ряду принципиальных причин. Но одновременно, имея солидный опыт работы в р-адической физике, он сразу обратил внимание на то, что р-адические деревья подходят для описания духовных пространств практически идеально.

Спустя еще десяток лет результатом этой исходной идеи стала внушительная серия из дюжины примерно монографий и статей Хренникова, посвященных математическому моделированию процессов мышления в системе p-адических координат.]7[

Нельзя сказать, что эти новаторские и глубокие работы прошли в научном сообществе полностью незамеченными. Специалисты их знают, конечно (профессор Хренников, среди прочего, известен как глава «Международного центра по математическому моделированию в физике и науках о мышлении» при университете Вэкшо, Швеция). Однако никакой революции в науке о мышлении и мозге эти труды пока не совершили. По той, прежде всего, причине, что на главные вопросы о тайнах сознания числовые p-адические модели Хренникова дать ответов не могут.

Главный из этих вопросов – проблема связи между духом и материей. Никакой ясности с этим вопросом как не было у ученых во времена Декарта и Паскаля, так нет ее и поныне. Опираясь на имеющийся массив знаний, наука по-прежнему стоит перед «пропастью в объяснении», даже близко не представляя механизмов, обеспечивающих взаимодействие материи и сознания.

Другой вопрос, близко соотносящийся с первым – где именно сознание находится? В мозге? Или же где-то еще – в пространстве «над головой»? А может быть, сознание распределено повсюду, где есть энергия и пространство?

Внятно и убедительно ответить на эти вопросы сегодня не в состоянии никто.

Но можно отметить, что кое-что очень существенное на данный счет способна подсказать наука геометрия. В частности, геометрические идеи, разработанные одним коллегой, соседом и близким знакомым Вольфганга Паули по Цюриху…

Более корректно, впрочем, в данном контексте говорить не столько о геометрии вообще, сколько о ее разделе под названием топология.[6C]

(Читать далее)

___

[10] Два мира, http://kniganews.org/map/n/00-01/hex10/

[12] Паскаль-Пашелес-Паули, http://kniganews.org/map/n/00-01/hex12/

[13] Нечто иное, http://kniganews.org/map/n/00-01/hex13/

[1C] Что-то случилось, http://kniganews.org/map/n/00-01/hex1c/

[50] Сны Декарта, http://kniganews.org/map/e/01-01/hex50/

[51] Одиссея вихревой губки, http://kniganews.org/map/e/01-01/hex51/

[6C] Резиновая геометрия, http://kniganews.org/map/e/01-10/hex6c/

[MI] Недостающая идея, http://kniganews.org/2012/11/17/langlands-plus/

[5.2] ТЗО_5.2_душа, http://kniganews.org/2013/01/07/beyond-clouds-52/

[MP] Сад сходящихся троп: Манин и Паули, http://kniganews.org/2012/03/25/manin-and-pauli/

ВНЕШНИЕ ССЫЛКИ:

]1[. Kurt Hensel, "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band 6, 1899, 6 (3): 83–88.

]2[. Владимиров B.C., Волович И.В. "Суперанализ, 1. Дифференциальное исчисление ". ТМФ. 1984. Т. 59, № 1. С. 3-27 ; --, --. "Суперанализ, 2. Интегральное исчисление". ТМФ. 1984. Т. 60, № 2, С. 169-198 ; --, --. "p-Адическая квантовая механика". Доклады Акад. Наук СССР: Физика. 1988. Т. 302, № 2. С. 320-322 ; engl. version: Vladimirov V.S., Volovich I.V. "P-adic quantum mechanics". Commun. Math. Phys. 1989. T. 123, C. 659-676 ; В. С. Владимиров, И.В. Волович, Е. И. Зеленов, "p-Адический анализ и математическая физика", Наука, М., 1994; engl. version: V.S. Vladimirov, I.V. Volovich, Ye.I. Zelenov, "p-Adic Analysis and Mathematical Physics", World Scientific, Singapore, 1993

]3[. Volovich IV, "p-adic string". Class. Quant. Grav. 1987. V. 4. P. 83-87.

]4[. С. В. Козырев, "Методы и приложения ультраметрического и p-адического анализа: от теории всплесков до биофизики", Совр. пробл. матем., Вып. 12, МИАН, М., 2008

]5[. P. G. O. Freund, E. Witten, "Adelic string amplitudes", Phys.Lett. B, 199 (1987), 191–194

]6[. Khrennikov A. Yu. "p-adic valued distributions and their applications to the mathematical physics". Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1994.

]7[. Khrennikov A. Yu. «Non-Archimedean analysis: quantum paradoxes, dynamical systems and biological models«. Dordreht: Kluwer Acad. Publ., 1997. ; Khrennikov A. Yu. «Human subconscious as the p-adic dynamical system«. J. of Theor. Biology. 1998. V. 193. P. 179-196. ; Khrennikov A. Yu. «Description of the operation of the human subconscious by means of p-adic dynamical systems«. Dokl. Akad. Nauk. 1999. V.365. P. 458-460. ; Хренников А. Ю. «Моделирование процессов мышления в р-адических системах координат«. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.