В скалярном умножении (а,b) = \a\*\b\*cos(ab), а здесь что за функция: (a,b,c)=\a\*\b\*\c\*f(a,b,c) ?!!! На угол ну ни как не похоже! Ладно, скаляр лежит в ко-пространстве биортогонального базиса, а здесь - в "три"-ортогоняльном? Бред! Тогда в пространстве кватернионов скалярное произведение либо не определено, либо определяет плоскость, ортогональную двум перемножаемым векторам!!! Но что за плоскость такая, что не имея направления, она тем не менее, ограничена числом???!!!
И снова на арену выходят сопряженные пространства ко-векторов, которые лишь при евклидовой ортогональности базиса совпадают с ним самим, в противном случае не Евклидова случая не лежит в исходном базисе (формулу здесь неудобно писать, там, короче, присутствует ортогональная матрица перехода Т к новой системе координат), что физически обеспечивается нелокальностью ОТО и относительностью СТО: при движении пространство искривляется (пусть и на незначительный коэффициент, обратно пропорциональный квадрату скорости света), но это дает право чуть чуть "подвигать" матрицу перехода Т, прибавив к ней "эпсилон" -> 0, что тут же выявляет раздельность исходного контравариантного базиса и "сдвинутого" ковариантного...

В колонках играет - Тишина, как всегда!
Настроение сейчас - творческое

Как же математика любит аккуратность! Три дня головной боли и самоуничижения вылились в четыре аккуратных равенства для восьмого класса... Но не прибавили понимания...

В колонках играет - Тишина, как всегда!
Настроение сейчас - Творческое, как всегда!

Ну я ВПИЛИЛ! Ну я врубился!!!
Пока разбирался с векторным произведением [ab] для двумерных и трёхмерных векторов, осознал их единство с матричным исчислением, понял, что определитель матрицы второго ранга численно равен площади параллелограмма построенного на ее векторах (и доказал сам себе этот факт геометрически), а третьего - объему параллелепипеда! Выяснил сущность минора матрицы и ее алгебраического дополнения - ( для матрицы третьего ранга минор - это вектор, численно равный площади проекции на соответствующую плоскость координат грани параллелепипеда, ею заданного, и перпендикулярный этой плоскости). Дошло, что интеграл по замкнутому контуру потому равен нулю (вернее, еще и потому), что бесконечно малые отрезки, его аппроксимирующие, являются линейно зависимыми векторами. Кстати, где-то на горизонте появилось ощущение сопричастности к интегралу Гаусса-Остроградского, да и Якобианы стали чуть роднее (но еще не понятыми...) Понял, что векторное произведение двух 4-векторов в 4-пространстве не определенно, поскольку получившийся 4-вектор должен быть перпендикулярен исходным двум, а в 4-пространстве остаётся ещё два взаимно перпендикулярных направления. И тогда я сделал допущение, что, возможно, нужно векторно умножить ТРИ 4-вектора, и проделал это на бумаге карандашом, учитывая антикоммутативность векторного умножения, и то, что векторное произведение двух коллинеарных сомножителей (даже в тройке чисел a1 x d1 x c2 , где a1 и d1 разные векторы, параллельные (коллинеарные) направлению 1 , а с2 есть третий вектор, ортогональный первым двум ) равно нулю: a1 x d1 x c2 = 0 x c2 = 0. Попутно разобрался с четными и не четными перестановками, от которых зависит знак +- коэффициентов, входящих в 4-вектор, через это представление добрался до понимания символа Кронекера, а приведя в получившемся выражении подобные члены и записав в столбик - понял, что получил то, о чем давно мечтал - тензор! С чем меня можно поздравить!

Чем только люди в Новогоднюю ночь ни занимаются!!! :))))

В колонках играет - Тишина, как всегда!
Настроение сейчас - Творческое, как всегда!

Выяснил что за зверь такой - голономность. Очень просто оказалось - векторный базис построенный в касательной плоскости к любой поверхности размерности N, находящийся вне этой размерности, так называемом расслоённом пространстве высшей размерности, не принадлежащей этой поверхности. Таковы изотопический спин, барионный заряд и что-то ещё, название чему забыл...

Цитата: "Что изменится при переходе к трех- или четырехмерным голономным векторным полям на пространствах, метрики которых как и у евклидовой и псевдоевклидовой плоскостей непосредственным образом связаны с коммутативно-ассоциативными алгебрами гиперкомплексных чисел?"

Не спрашивайте о чём. Сам половину не понял. Это про СТО и то, что она как-то связана с "коммутативно-ассоциативными алгебрами гиперкомплексных чисел".

Жопой чую, что прав. Но всего знать и сразу не получается.

Вот что такое "коммутативно-ассоциативные алгебры"? вроде понятно, что это относится к их свойствам оператора сложения (арифметическое правило "от перестановки мест слагаемых" и о последовательности умножения скобки с суммой на число а(в+с) = ав+ас)

Что у произведения гиперкомплексных чисел сигнатура совпадает с пространственно-подобными и времени-подобными сигнатурами пространства Минковского - это я сам допёр. А дальше?! Они же ОДНОВРЕМЕННО и такие и сякие!

Основная теорема абстрактной теории рядов Фурье: каждый вектор гильбертова пространства равен суме своего ряда Фурье.

Настоящее пособие предназначается для студентов МФТИ, изучающих кинематику и динамику твёрдого тела в курсе теоретической механики. Изложение раздела кинематики построено на использовании аппарата кватернионов - четырёхмерных гиперкомплексных чисел со специальными правилами умножения. Кватернионы дают возможность в достаточно простой и удобной форме задавать повороты в трёхмерном пространстве, что и обуславливает их применение для описания вращательного движения твердого тела.

Вы не думайте, что я заткнулся на этом! Я сейчас разбираюсь с линейной алгеброй и аналитической геометрией! От обзорного экскурса я перешёл к планомерному изучению. Многое оказалось знакомым, но и многое прояснилось! Полторы не прочитанных полки книг взывают ко мне своими шуршащими знаниями!

Это я про пересечения векторов в разноразмерных пространствах. То доказательство верно, но не интуитивно. А вот его интуитивная основа. Точка = нуль вектор. Прямая - обычный, такой привычный вектор. И их пересечения. Что из этого получается?. Смотрим, вникаем. Точка с точкой могут пересечься, и тогда они совпадают. А могут и не пересечься. Причём способ совпадения один, а способов не совпасть - бесконечно много, неопределённо много. Это пустое множество пересечений. Нуль множество пересечений содержит в себе элемент нуль - пересечение по одной точке. Это нуль-мерное пространство.Пересечение нульмерных пространств может произойти только в нулевом измерении - точке. А не пересечься точки могут через любое другое, выше размерностью, пространство - неопределённое измерение - в принципе любое число их подходит! Кратчайший путь от одной точке к другой (в другое измерение!) - это прямая. То есть - вектор.

Пересечение прямой и точки - точка, что интуитивно понятно, и формула дает: 1+0-0=1 - это по прежнему одномерное пространство - прямая.

Пересечение двух прямых, проходящих через три различные точки - точка по построению, и по формуле: 1+1-0=2 - т.е. пересечение двух прямых по точке определяет плоскость - двумерное пространство. Пересечение по линии - 1+1-1=1 - дает совпадение размерностей, и линии совпадают - это одна и та же линия! Линии могут и не пересекаться (пересекаться по пустому множеству), причём нижняя граница определена - это плоскость (линии параллельны в одной плоскости), а вот верхняя - по прежнему остается не определенной - не пересечься линии могут через пространство какой угодно размерности. Причём трёхмерное пространство - следующее по рангу, в котором линии могут не принадлежать одной плоскости и не пересекаться.

Само же третье измерение конструируется так. Пересечение плоскости и линии по точке 2+1-0=3, или пересечение двух плоскостей по прямой 2+2-1=3. Две плоскости могут быть компланарны (параллельны в третьем измерении), и не пересекаться в три-пространстве, а могут не пересекаться через какое угодно более высокоразмерное пространство, не будучи в них параллельными. Следующее такое пространство - четырёхмерие.

4-пространство можно сконструировать так. 1+1+1+1-0=4 (четыре пересекающихся в одной точке прямые), 1+1+2-0=4 (две прямые и плоскость по одной точке, что эквивалентно предыдущей формуле, если учесть, что две пересекающиеся прямые однозначно задают плоскость), 2+2-0=4 (пересечение плоскостей в одной точке - что удивительно, но реально!), 3+1-0=4 (куб плюс прямая по одной точке, что то же удивительно), 3+2-1=4 (куб плюс плоскость по прямой - уже привыкли?), 3+3-2=4 (два куба по плоскости - стало банально!), 4+3-3, 4+4-4 дает совпадение 4-пространста по самому себе.

Все!!!

Биосферная бухгалтерия и экономика живой негэнтропии. Смысл в том, что человек в процессе своей социальной жизнедеятельности выводит из круговорота вещества и энергии биосферы легкоусвояемые высокоэнергетические ресурсы, отдавая в замен низковалидные отходы, да ещё и в не долгоиграющем виде - пластики, нержавеющие материалы, стекло, бетон... И очень много тепла от работающих механизмов и электроприборов! Миллиарды лет устанавливалось динамическое равновесие между поступающей в биосферу энергией, количеством живого на Земле, КПД организмов - способности все лучшей адаптации этой энергии для нужд организма - что привело к устоявшемуся значению массы живого в биосфере. Это значение - константа с точностью до незначительного коэффициента =Е18 тонн. И не важно чего: бактерии, вши, кошки, люди или голубые киты и панды. Чем выше значения энтропии в биосфере - тем хуже себя чувствуют виды, находящиеся на вершине пирамиды эволюции и пищевой цепочки (разные проекции одной системы - биогеоценоза). Условия, создаваемые человеком прекрасны для нижних этажей этих пирамид - бактерий и одноклеточных, и губительны для высших, замыкающих. Ещё раз. Объем биосферы=константа. Изменение внешних условий=сдвиг распределения по объемам биогеоценозов, = изменение видового состава биосферы: вымирают высшие звенья и процветают простейшие... А все из-за перераспределения баланса энергии.

Вывод. Хотите жить как всегда - откажитесь от ночного освещения, тепла зимой, горячей воды из под крана, быстрого передвижения на машинах, промышленных объёмов стали, бензина, газа - от благ цивилизации. Нет? - Тогда вымрут не только панды и голубые киты. Население планеты Земля достигнет 10 миллиардов к 2050 году. Температура вырастет на 4 или 5 градусов. Атмосфера сойдет сума. Тропическая сельва исчезнет. Исчезнут полярные шапки вечных льдов. Изменятся океанские течения. Массовая гибель животных весом выше 300кг. Экспоненциальный рост микрофлоры и фауны, в том числе и болезнетворных бактерий - чумы, тифа, оспы... К 2500 году миллиард людей будет жить на зловонном болоте, в которое превратиться помойка предыдущих цивилизации, в условиях тринадцатого века... Если, конечно, не будет ядерной войны... А по закону жанра, если на стене висит ружье...

PS Продлить агонию цивилизации поможет осознанный отказ от ядерного оружия (невозможно), энергосберегающие технологии (очень трудно), экономическое удержание 90% человечества в условиях 17 века, с правящей верхушкой интеллектуалов - мегакорпораций (вероятно), бесконечная череда локальных войн, замедляющих прогресс, и дающих потенциал как для инвестиций, так и для отвлечения внимания от насущных проблем, вернее, войны - единственная осмысленная проблема для электората (реальность). Имхо.

PPS Можно сравнить историю цивилизаций с эволюцией живого вообще. Развитие жизни идёт в простых экосистемах и сложнейших геобиоценозах. Социальная жизнь - в семье и политике (конвиксии и этносы). Тогда разумным и созидательным можно считать все то, что направленно на увеличение КПД социальной системы. Так же как живое (биосфера) питается энергией, превращая её в работу своих жизненно важных систем и в механическую работу (передвижение в пространстве, например), в процессе эволюции совершенствуя способы такого превращения - на том же количестве энергии сделать больше и, возможно, лучше - так же и социум, я думаю, должен улучшать свои алгоритмы работы. На единицу энергии совершить больше работы - меньше выбросить тепла и энтропии во вне. Так же как в природе уже давно существует цикл продуценты - консументы - редуценты, так и социуме должны появиться элементы, выполняющие аналогичные функции: производители - потребители - утилизаторы. Это создаст необычную социальную среду: чем то она напоминает касты, и одновременно демократию в её юрикратическом виде.

Блин! Ну какой же я тупой! Или это мысли бегут впереди осмысления написанного?! Короче, шесть направлений я попарно отождествил, и получил Е3. А чисто мнимую пару - забыл! Там то же самое отождествление, и i и -i "выпрямляются" в одну ось. Линию, а не плоскость. Тогда прямая сумма пространств: 3+1-0=4. Волшебный результат! Что с четырехмерием ни делай, в нем и останешься!

Чистое -i равно комплексно сопряженному i : (0;i) с "черточкой" на верху, обозначающей сопряжение, равно (0;-i). -(0;i)=(-0;-i)=(0;-i). Какой-то очень странный божественный смайлик получился!

Любопытно заметить, что векторное произведение пары "просто" гиперкомплексных чисел k и j дает только мнимую единицу i: (0;0;k;0)x(0;0;0;j)=(0;i;0;0)! (0;0;0;j)x(0;0;k;0)=(0;-i;0;0)!!! Значит ли это, что такое векторное произведение неотличимо от "чисто" мнимого вектора на оси "i" направленного соответственно в положительном и отрицательном направлениях? Скорее всего такое отождествление можно принять. Так же любопытно, что произведение ТРЕХ мнимых единиц дает действительное число: ijk=1 ikj=-1 jki=-1 kji=1 kij=1 jik=-1 . То есть такие векторные произведения тождественно равны... а теперь внимание! моя хитрая догадка!.. ТРЕХМЕРНОМУ ЕВКЛИДОВУ ПРОСТРАНСТВУ, где значки "-" соответствуют векторам, направленным в отрицательную сторону от точки отсчета 0, а "+" - в положительную. И того три плюса и три минуса. Я делаю такое сильное отождествление на основе общепринятой договоренности, что в двумерной проекции четырехмерного пространства-времени в представлении Минковского все три наши привычные измерения свернуты (отождествлены) в одну прямую. Картинка выглядит как всем знакомая Декартова система координат, где ось Х представляет ВСЕ ТРИ действительных измерения, а ось У - мнимую координату времени ict.

Таким образом, как мне кажется, за осью времени "спрятались" (хитрая проекция, 4-поворот) векторные произведения двух "простых" гиперчисел, а наше пространство распадается на прямое произведение всех трех мнимых единиц.

И так, у меня есть одна двунаправленная плоскость векторных произведений jk и kj , а также одно три-сечение с шестью направлениями... Пересечение которых =0 (точка!), т.к. пересечение мнимой и действительной осей , которым они тождественны, происходит по нулевому вектору (пересечению координат), и если избавится от двойного чтения плюсов и минусов, отождествив их с дополнениями одной и той же координатной прямой (что всегда возможно!), останутся только "обычные" два- и три- сечения в в четырех измерениях, и их прямая сумма пространств=2+3-0=5... А через пятое измерение, как говорят, но я сам не видел этого доказательства, очень просто получить уравнения электродинамики Максвелла...

Любопытно!!!

ps Друзья, а кто-нибудь знает как все это здесь под КАТ убирать? А то френд-лента, и все такое... :)

Произведение любых двух гиперчисел дает третье гиперчисло. Например ik=j, ij=k, kj=-i. Таким образом векторное произведение двух гиперчисел выглядит как четырехмерный поворот (хитрая проекция) от выбранных двух базисов к третьему. Любая комбинация произведений всех трех гиперчисел дает действительное число. ikj=jj=-1, ijk=kk=-1, kij=-jj=1 и т.д. Векторное произведение трех гиперчисел так же выглядит как четыре-поворот к оставшейся не задействованной действительной числовой оси. Вывод. Слабо заподозрить ВСЕ действительные числа в скрытой гиперкомплексности???