Исходное сообщение Александр_Блинков
Обнаружена склонность к катастрофному поведению самого широкого круга объектов управления. Французскому математику Рене Тома, автору известной Теории Катастроф, удалось формализовать скачкообразное поведение ограниченного класса систем, состояние которых может быть охарактеризовано энергетической функцией. Поверхности состояния таких систем получили с его легкой руки поэтичные названия катастроф Складки, Сборки, Бабочки.Теория с таким звучным названием приковала к себе внимание многих исследователей. Однако, широко применить ее аппарат оказалось не просто. Многочисленные катастрофы вокруг и рядом с нами так и остались за пределами ее рассмотрения.Знакомая из Теории катастроф поверхность Сборки сама обнаружила себя при моделировании поведения достаточно простой кибернетической системы. Системы настолько тривиальной, что этот результат, эта катастрофа, позволяет приложить себя едва ли не к любому объекту нашего мира, понять природу явлений самого широко спектра.Под кибернетической системой мы будем понимать объект с обратной связью выход-вход. Сложность модели заключается только в одном шаге от элементарности, - мы условимся считать, что объект наш не монолитен, а состоит всего лишь из двух частей. Согласимся, что трудно на самом деле представить объект мира, который не мог бы быть представлен системой из двух, как минимум, частей.Заметим еще, что для описываемой ниже кибернетической системы, требование энергетического описания ее состояния оказалось ненужным.Итак, строим нашу модель по шагам:1. любой процесс материального мира – преобразование одних объектов–ресурсов в другие – продукты.2. Наш объект составляют две части. То есть, вводим элементарную структуру объекта. Заранее не беремся обещать гомогенный характер этой структуры. 3. Параллельное включение по входному ресурсу. Части системы делят входной ресурс между собой.4. Требование равенства продуктов на выходах обеих частей. Это качество достаточно широко распространено в реальных объектах. Так, любой руководитель будет стремиться получить одинаковый результат от каждого подчиненного. Борец сумо будут стремиться оказать такое же давление на соперника, как и тот, чтобы не быть вытолкнутым с ринга. Равный выходной ток двух параллельно включенных транзисторов обеспечивается их параллельным включением в режиме с общей базой. И т.д. и т.п.5. Обратная связь. Влияние выхода системы на ее вход – достаточно распространенное явление. Независимо от того, осуществляется ли такое влияние за счет (с точки зрения системы) внешних механизмов, за счет влияния среды, например, либо же происходит в силу внутренних эффектов. Например, как тепловая обратная связь в электронных приборах. Исходно готовы допустить как отрицательный (то есть при увеличении выходного потока, снижается входной), так и положительный (увеличение выхода влечет увеличение и входа) характер обратной связи.6. Управление как перераспределение общего ресурса. Допущение внутренней структуры объекта влечет существование механизма перераспределения входного потока. И механизм обратной связи, в отличие от элементарной кибернетической модели, в нашем случае работает не как регулятор входа для всей системы, а именно как механизм перераспределения входного потока между внутренними элементами. В случае положительной обратной связи (ПОС) входной ресурс распределяется в пользу элемента с бОльшим выходом продукта, в случае отрицательной обратной связи – наоборот, в пользу элемента с меньшим выходом.7. Зависимость выхода от входа называется передаточной функцией. На втором шаге построения нашей модели мы допустили разнородный характер внутренней структуры. Теперь мы можем уточнить, что неоднородность будем трактовать как разницу в величине передаточных функций элементов.8. И, наконец, последнее допущение: S-образный характер передаточных функций. То есть мы признаем, что зависимость выхода от входа всегда имеет фазу разгона, рабочий участок и фазу насыщения.Итак, полная модель перед нами:Описание алгоритма моделирования и текст программы для примера приведены в приложении.Результат расчетов позволяют построить поверхность состояния описанной кибернетической системы из двух элементов.Пусть имеет место отрицательная обратная связь.Тогда в осях: Доля ресурса – Соотношение качества элементов – Общий ресурс мы обнаруживаем поверхность, которую невозможно спутать ни с какой другой. Несомненно, это она – Катастрофа Сборки!В отличие от классической катастрофы сборки наша модель характеризуется двумя точками - по одной точке состояния на каждую составную часть. Эти точки также всегда принадлежат поверхности состояния, но располагаются на ней не произвольно.Поперечная ось нашего трехмерного пространства состояния представляет собой соотношение эффективностей обеих частей системы. В центре поперечной оси соотношение равно единице (то есть оба элемента идентичны), слева область более эффективных (или производительных) элементов, справа - менее. Если оба элемента совершенно одинаковы, то их точки состояния сливаются (отношение эффективностей равно единице), и могут перемещаться вдоль по поверхности строго по ее середине. Если элементы неодинаковы (система неоднородна), то точки состояния должны находиться симметрично по разные стороны от середины поверхности - одна слева, другая - справа.В случае неоднородной системы при изменении ситуации каждый элемент ведет себя по-своему - один сразу "скатывается" вниз (теряя даже то малое, что принадлежало ему вначале), другой - поднимается вверх (еще более упрочивая свою позицию).В случае однородной системы первоначально поведение обеих частей совершенно идентично - обе рабочие точки сливаются и перемещаются вдоль поверхности строго по ее середине, разделяя ресурсы между собой строго поровну. Однако, в некоторый момент поведение равных элементов изменяется кардинально - один забирает все ресурсы, другой почему-то все теряет.Дело в том, что «язычок» сборки – треугольная часть поверхности между верхним и нижним листом, в данном режиме модели оказывается множеством неустойчивых состояний системы. Малейшая флуктуация приводит к расслоению исходной системы. Вариант бифуркации, как ей и положено, зависит от малых возмущений: какой именно из двух совершенно идентичных элементов получит бОльшую часть ресурса, какой – меньшую, определяют отклонения на микро уровне.«Поперечная» эволюция системы демонстрирует явление, известное под названием «петля гистерезиса», или, другими словами, – эффект памяти.Если изначально разнородные элементы уровняют свои характеристики, – неоднородность распределения ресурса между ними останется. И только серьезный обратный перекос приведет к скачкообразному перераспределению.Что произойдет, если в модели сменится знак обратной связи?Для системы с положительной обратной связью поменяются местами устойчивые и неустойчивые части поверхности сборки. Единственным устойчивым участком поверхности состояния для системы с ПОС оказывается как раз «язычок» сборки. За его пределами состояние системы вырожденное, то есть имеет право на существование (получает ресурсы) только один элемент.В скобках заметим: Одно из определений гласит: «Кибернетика - это наука, изучающая способы создания, раскрытия строения и тождественного преобразования алгоритмов, описывающих процессы управления, протекающие в действительности.» Обнаружение катастрофного поведения достаточно тривиальной модели управления ставит вопрос о новом роде устойчивости систем. Классические амплитудно-фазо-частотные критерии устойчивости теории автоматического управления, необходимо дополнить критериями структурной устойчивости объекта, находящегося под управлением. Тем более, что, как мы увидим ниже, такие процессы сплошь и рядом «протекают в действительности».Многочисленные примеры явлений, объяснение которым мы находим в представленной здесь кибернетической модели, можно найти здесь. Их круг весьма широк - и работа атомного реактора, и конкуренция на рынке, и психология манипуляций, и коллизии любви и ненависти.Приведем ниже только один пример из области управления:Административное управление – катастрофа неизбежнаИтак, модель с отрицательной обратной связью (ООС).Власть, управление, строится, зачастую неосознанно, на принципах административного или командного управления: менеджер играет роль контролера и регулятора. С одной стороны, он внимательно следит за тем, как работают все подразделения, с другой, перераспределяет ресурсы так, чтобы поправить положение, если кто-то "сбавляет ход". Вроде бы все оправдано, отстающему надо помочь людьми, оборудованием, деньгами. Конечно, это все за счет тех, кто работает лучше. Где же еще взять ресурсы?!Как известно из теории управления, чем объемнее и достовернее учет, чем жестче контроль и сильнее регулирование, тем выше точность управления. Будьте осторожны! Катастрофа тут как тут. Сначала ничто не предвещает плохого, производство ведет себя именно так, как и рассчитывает менеджер, - выпуск продукции растет пропорционально вложенным ресурсам. Если какое-то подразделение сбавляет ход, то помощь за счет передовиков выправляет положение и все части производственной машины работают ровно.Ситуация меняется внезапно. С некоторого момента перераспределение ресурсов вдруг начинает давать прямо противоположный эффект: дополнительные ресурсы не заставляют отстающее подразделение работать лучше. Люди вдруг обнаруживают, что, чем хуже работаешь, тем больше тебе дадут, а будешь работать много - все заберут в пользу слабых. Объем производства начинает падать.Что же управляющий? Скорее всего, он, не понимая, что происходит, продолжает действовать в том же духе, стараясь выправить ситуацию. Это приводит к тому, что производство превращается в "черную дыру" ресурсов: чем глубже кризис, тем больше затраты, тем глубже кризис! Никакие материальные, кадровые, финансовые вливания не могут заставить командную (плановую) систему нормально функционировать. Это прекрасно иллюстрирует печальный пример застоя в плановой экономике.Рыночные условия – самоорганизация со знаком плюсНа рынке производители оказываются в условиях, прямо противоположных тем, в которые их ставит недалекий менеджер. Меняется характер обратной связи с отрицательного на положительный - теперь уже более эффективный производитель получает большее количество ресурсов за счет большей прибыли. Такое изменение ситуации оказывает просто фантастическое действие - система приобретает волшебное свойство - способность к самоорганизации. (Если быть точными, то расслоение производителей в условиях администрирования тоже самоорганизация, но это "плохая" самоорганизация).В начальный момент могут существовать только монопольный производитель с большей эффективностью производства. Более слабые производители могут играть только эпизодическую роль на почти незаметном уровне.В условиях ужесточения рынка, однако, наступает момент, когда возможности монополиста оказываются исчерпанными - производство начинает падать, наступает кризис. Именно в этот момент и проявляется волшебное свойство самоорганизации - скачком возникает структура из нескольких производителей (в нашей модели – из двух). При повышении стоимости ресурсов, при ужесточении ситуации на рынке, аутсайдер получает свою экологическую нишу и, вследствие дешевизны своих ресурсов и труда, может обеспечить себе больший динамизм, а если сохранит опережающие темпы развития, то и захватить рынок полностью. Такова модель «экономического чуда» многих стран, в числе которых, к сожалению, Россия не значится. Структурная перестройка приводит к резкому повышению производства во всей системе. Обратите внимание, нет ничего, что заботилось бы о благополучии системы: наоборот, единственно, чем заняты люди (кадры - это ведь тоже ресурсы), - это перемещение туда, где больше денег, поиском более выгодных условий для себя. Однако такой предельный прагматизм в этих условиях как раз и приводит к качественному совершенствованию всей системы, то есть к улучшению ситуации для всех ее участников.Приложение 1Алгоритм компьютерного моделированияПараметры модели:R – ресурсА – производительностьDA – неоднородностьX – насыщениеD – флуктуацияG – характер обратной связиE – порог сравненияS – шаговСистема состоит из двух элементов с производительностью/эффективностью/передаточной характеристикой А1 и А2 соответственно. Причем 1) если А01=А, то А02=А01*ДА. Где А01 и А02 – производительность элемента без учета эффекта насыщения (такое упрощение S-образной кривой),2) S-образность заменена только насыщением: Аi=A0i*Pi*EXP(-H*Pi). (Вообще-то в самом начале это была модель системы из двух параллельно включенных транзисторовJ) Последовательно, с заданным количеством шагов S на вход системы от минимального значения R0 до максимального R подается ресурс. На входе каждого элемента системы поступает ресурс R1 и R2 соответственно. Причем, R1+R2=Rn, где Rn – общее количество ресурса на входе системы на данном шаге.Для начала ресурс R делится поровну между элементами. Но(!!!):Если при этом не ввести флюктуацию, – то при абсолютно идентичных элементах системы DA=1 мы не заметим, как с устойчивой поверхности состояния перешли на участок с неустойчивым равновесием!!!! Для этого начальное распределение ресурса производим в соответствии с условием: R1=Rn/2+D*Rn. Соответственно тогда R2=Rn-R1.На выходе каждого элемента системы появляется продукт P1 и P2 соответственно. Причем, P1 должно быть равно P2. Для того, чтобы достичь условия P1=P2, производится перераспределение общего ресурса Rn, между элементами. Но условие R1+R2=Rn соблюдается всегда.Перераспределение ресурса происходит в зависимости от типа Обратной связи G. Если имеет место быть Положительная ОС – увеличивается доля ресурса на входе элемента с большим количеством продукта на выходе. Если Отрицательная – наоборот, уменьшается.Перераспределение осуществляется итеративно со все более маленьким шагом изменения ресурса.Если шаг перераспределения ресурса становится меньше исходно заданной величины (например, 0,0001%R) – поиск баланса прекращается. Объявляется «отсутствие точки». Переход на следующее значение Rn. После того, как баланс по продукту перераспределением ресурса достигнут, считается, что найдена точка на поверхности состояния системы. Значения R1, R2, P1, P2 для данного значения Rn распечатываются. Переход к следующему значению общего ресурса Rn.Ну и если проделать все это для различных значений DA от DA=0.5,скажем до DA=2 с некоторым шагом, и если подобрать соответствующие значения А и X, то в пространстве (Ri/R, DA, R) обнаружим нашу красавицу – Сборку. Текст программы на Бейсике для остродефицитной в 1988 году ПЭВМ марки «Robotron 1715» представляет скорее исторический интерес (см. Приложение 2). В качестве домашнего упражнения сегодняшние студенты могут построить онлайновую интернет-модель. Задание посложнее, – попробовать создать кибернетические модели катастроф более высоко порядка.Приложение 210 PRINT "Начальный ввод параметров. Укажите:"20 INPUT "РЕСУРС =";R30 INPUT "ПРОИЗВОДИТ. =";A40 INPUT "СООТНОШЕНИЕ ="; DA50 INPUT "КОЭФФ. НАСЫЩ."; X: REM Эффект насыщения60 INPUT "ШАГОВ"; S70 INPUT "РЫНОК"; MON80 INPUT "ФЛУКТУАЦИЯ";D90 INPUT "ПОРОГ СРАВНЕНИЯ";E100 INPUT "ФОН";P0110 INPUT "РЕЖИМ: ПОЛОЖИТ. О.С.- 1, ОТРИЦАТ. О.С. - 2";G120 W=0130 PRINT "ШАГ ДОЛЯ РЕС1 ДОЛЯ РЕС2 ПРОД1 ПРОД2 "140 FOR N=1 TO S150 L=0160 I0=N*I/S:A01=A:A02=DA*A01170 REM НУЛЕВОЙ ШАГ180 I1=I0/2+D*I0:I2=I0-I1190 DI=I0200 REM ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ210 A1=A01*I1*EXP(-X*I1):A2=A02*I2*EXP(-X*I2)220 REM ПРОИЗВОДСТВО ПРОДУКТА230 P1=I1*A1:P2=I2*A2:P=P1+P2240 REM БАЛАНС ЕСТЬ?250 IF DI<.0000001*I0 THEN PRINT "НЕТ ТОЧКИ":GOTO 380260 IF ABS(P1-P2)<(E*P1) GOTO 380270 K=-1280 IF P1

I0*100),INT(I2/I0*100),INT(P1),INT(P2)390 IF W=0 GOTO 410 400 IF DI<.000001*I0 THEN LPRINT "НЕТ ТОЧКИ"410 NEXT N420 END
(с) Блинков А.В. Катастрофа кибернетики