Замечательные кривые древности |
Верзие́ра (Ло́кон Анье́зи) — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. Описывается уравненением
Получила второе название в честь изучавшей её Марии Аньези.
Кривая представляет собой множество всех точек M (на рисунке), которые находятся как пересечение горизонтальной прямой DM и вертикальной AM. точка А находится как продолжение секущей OD и горизонтальной прямой, проходящей через точку C (касательную к верхней точке окружности диаметра a).
Кривая асимптотически приближается к оси Ox, имеет две точки перегиба с координатами 
.
Отсекаемая кривой площадь: S = πa2
Циссоида Диокла — плоская алгебраическая кривая третьего порядка. В декартовой системе координат, где ось абсцисс направлена по OX, а ось ординат по OY, на отрезке OA=2a, как на диаметре строится вспомогательная окружность. В точке A проводится касательная UV. Из точки O проводится произвольная прямая OF, которая пересекает окружность в точке E и касательную в точке F. От точки F, в направлении точки O, откладывается отрезок FM, длина которого равна длине отрезка OE. При вращении линии OF вокруг точки O, точка M описывает линию, которая называется Циссоида Диокла. Две ветви этой линии на рис. 1 показаны, синим и красным цветами.
Уравнение циссоиды в прямоугольной системе координат записывается так:
. Уравнение циссоиды в полярной системе координат:
. Иногда уравнение циссоиды в полярной системе координат записывают так:
Параметрическое уравнение циссоиды:
, где 
. Впервые уравнение циссоиды исследовал греческий математик Диокл (Diocles) во II веке до н. э. Диокл строил кривую так: находится точка P, которая расположена на вспомогательной окружности симметрично точке E; ось симметрии — диаметр BD. Из точки P проводится перпендикуляр к оси абсцисс. Точка M, принадлежащая циссоиде, находится на пересечении этого перпендикуляра и прямой OE. Этим методом, Диокл построил только кривую DOB внутри вспомогательной окружности. Если эту часть циссоиды (DOB) замкнуть дугой окружности EAD, то получается фигура, напоминающая своей формой лист плюща. По-гречески плющ — греч. χισσος («киссос»), от этого и произошло название кривой — «Циссоида».
В современном виде, циссоиду воспроизвел французский математик Жиль Роберваль в 1640 году. Позднее циссоиду также исследовал голландский математик Рене де Слюз (Rene de Sluze).
Лемниската Бернулли — кривая, у которой произведение расстояний от каждой её точки до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними. Лемниската по форме напоминает восьмёрку.
Название «лемниската» восходит к античному Риму, где так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению
Уравнения
в прямоугольных координатах:
(x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) = 0,
в полярных координатах:
ρ2 = 2a2cos(2φ).
Овалы Кассини — алгебраические кривые 4-го порядка, частный случай лемнискаты (с двумя фокусами). Названы по имени Джованни Доменико Кассини.
Наиболее известным частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли.
Основное свойство
множество точек, произведение расстояний которых от двух данных точек F1 и F2 постоянно (иногда обозначается b2).
| Рубрики: | Интеррресности |
| Комментировать | « Пред. запись — К дневнику — След. запись » | Страницы: [1] [Новые] |
