В одной компании кандидатам на вакансию программиста предлагалась следующая задача. Найти значение дроби:

$$

Для решения данной задачи не требуется знания природы таких дробей и области, в которой эти дроби применяются. Нужно только заметить, что предложенное выражение самоподобно и может быть представлено в виде:

$$

А это, в свою очередь, приводит к обычному квадратному уравнению:

$$

Теперь скажем, что данные дроби имеют особое название, это цепные дроби, и они используются, как одна из форм записи вещественных чисел. В рассмотренном примере бесконечная цепная дробь имеет самое простое представление. В ее записи используются только единицы, и длина её периода тоже равна единице. Любопытно, что выражаемое ею число очень широко представлено, и не только в математическом мире, и даже имеет собственное название — «золотое сечение». Получим несколько приближений для данного числа, используя его представление через цепную дробь. На первом шаге отбросим второе слагаемое в знаменателе. Получим $$, теперь запишем следующее приближения, используя полученный результат, как второе слагаемое в знаменателе $$ Повторим эту операцию ещё раз $$ В результате мы получим следующий ряд:

$$

Обратимся теперь к такому понятию, как последовательность Фибоначчи. Так называются члены числового ряда, составленного по следующему правилу. Первый и второй член ряда равны единице, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих.

$$

Составим ряд образованный отношениями двух соседних членов последовательности Фибоначчи

$$

Не правда ли, знакомая запись? Действительно, предел отношения двух чисел Фибоначчи выражается «золотым сечением». Получим этот результат.
Из определения следует, что

$$

$$

Введем следующее обозначение

$$

Тогда предыдующее равенство запишется как

$$

В пределе

$$

Введем обозначение $$. Тогда мы получим уравнение, которое уже приводили в начале статьи.

$$

Теперь рассмотрим последовательность, у которой три первых члена равны единицы, а каждый последующий равен сумме трех предыдущих. Найдем предел, к которому стремится отношение двух соседних членов последовательности. По определению

$$

Разделим левую и правую часть на $$. Тогда в используемых ранее обозначениях мы можем записать:

$$

Теперь разделим левую и правую часть на $$. Получим следующее cоотношение:

$$

Обозначим

$$

В новых обозначениях система уравнений будет выглядеть так:

$$

Данная система приводится к следующему уравнению:

$$

Оно имеет одно вещественное решение

$$

Если рассмотреть ряд для последовательности, у которой каждый член равен сумме уже четырех предыдущих, то мы придем к системе из трех уравнений:

$$

А эта система приводится к следующему нелинейному уравнению:

$$

Это уравнение имеет два вещественных корня. Решением нашей задачи будет:

$$

Вот такое исследование получилось из одной задачи на собеседовании.

https://habrahabr.ru/post/331688/