amk: Все кривые Пеано (в том числе и Гилберта) покрывают квадрат плотно.
Что это означает?
Это значит для любой точки квадрата A и любого сколь угодно малого ε имеется некоторая точка кривой Пеано лежащая внутри ε-окрестности точки A.
Но это вовсе не означает, что сама точка A лежит на кривой Пеано.
Собственно то, что точка может и не лежать на кривой Пеано и означает, что заполнение не является непрерывным.

При том, что существует взаимно однозначное отображение точек квадрата на его сторону.

Но, с практической точки зрения, в математике непрерывное заполнение часто заменяется плотным. В частности именно плотность числовой шкалы используется в определении производной, а вовсе не её непрерывность.

https://forum.sources.ru/index.php?showtopic=381032&view=findpost&p=3845349