По материалам газеты "Радиотехник". 1985

Как три вектора один детерминант в нуль обратили
Народная сказка
Как идут две параллели,
Да не сходятся.
Как стоят два перпендикуляра,
Да не наклонятся.
(Старинная песня)

В некотором пространстве, в некотором подпространстве жило-было-задано нормализованное удобопорядоченное семейство векторов - i1, i2 и i3. Не было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили в чём мать родила. Из периода в период, от -π до π гнули братья спины на базизе богатого Симплекса - эксплуататора и тунеядца, который всю жизнь прожил по принципу наименьшего действия.

И не взлюбил Симплекса Комплекс. Вытворяет над ним свои комплексные штучки: то одну координату отобьёт, то другую.

- Не будет нам житья от этого Комплекса, - решили братья. - Нет на него никаких ограничений.

И задумали они обойти все пространства и все подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему координат. Вышли в чисто потенциальное поле и пошли с шагом h/2 куда глаза глядят. π идут, 2π идут, 3π идут. Стали уже попадаться изоклины. Глянули братья - прямо перед ними блестит голубым разрезом на ровной комплексной плоскости струйное течение. Не простое течение - с кавитацией.

- А не половить ли нам рыбки? - молвил i1.

- Отчего же нет? - сказали братья.

Забросили они с верхнего берега свою видавшую виды сеть. Смотрят - в сети сигма-рыба бьётся, человеческим голосом разговаривает:

- Не губите меня добры молодцы, я вам ещё пригожусь.

Выпустили её братья и дальше пошли.

Долго ли, коротко ли шли - больше нуля, меньше бесконечности - смотрят: стоит при дороге малый параметр, от голода плачет. Пожалели его братья, накормили его ядрами всвёртку, угостили и повторными. Стал тут параметр на глазах рости, а когда достиг экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал:

- Я вам ещё пригожусь.

Да и пропал, будто и не было его вовсе.

Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья Мёбиуса, закрутились в воздухе уединённые вихри, огненные разрезы молний раскололи небесную сферу Римана. Оглянулись братья, глядь - при дороге избушка на курьих ножках.

- Избушка, избушка, повернись к нам плюсом, к лесу минусом.



Попериминалась избушка с ноги на ногу, повернулась. Вошли в неё векторы и возрадовались. Стоит в избушке стол, всякими яствами уставлен. Поели братья, спросили:

- Есть тут кто? Отзовись.

Смотрят из-под печки вылазит не-то вектор, не-то скаляр, дробной цепью закованный.

- Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата Коши Мак Лорен. Вот уже полжизни сижу я здесь под стражей злой Наблы Яги за отрицание разнозначности...

Не успел он договорить - зашумело, засвистело вокруг.

- Бежим! - вскричал Мак Лорен.

Расковали его братья и пустились вместе наутёк. Оглянулись и видят - летит по небу прекрасная Дельта. Ударилась Дельта оземь, стала на голову и обратилась в страшную Наблу Ягу.

- Чую, чую, векторным духом пахнет!

А векторов тех уже и след простыл.

Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на Div-град, что означает Дивный город, а сам пошёл своим путём.

...И выросли перед братьями стены града великого, подобно тому, как возрастает график тангенса с аргументом, близким к π/2. И расходилось от него сияние лучистое, подобно тому, как расходятся частные суммы гармонического ряда.

Зашли братья в харчевню "V с волной", разговорились с хозяйкой, толстой, дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье, постигшем их город.

Устроил как-то правитель Div-града, великий Тензор IX инвариантный бал по случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Приехал на бал граф Икс в самосопряжённой коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные звуки К-мерной музыки, исполняемой хором высших гармоник в сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце "Па dt".

Вдруг погас свет заметались по стенам фигуры Лиссажу, переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Розельвенты и след простыл. Как показало следствие, из теоремы о монодрамии, её похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия Даламбера-Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи.

Крепко запал в душу братья рассказ Тильды. И решили они померяться силами со злым Вандермондом, вызволить из беды красавицу Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тэйлора, снарядились, погадали на годографе и тронулись в путь.

Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжёлые граничные условия не позволили векторам пройти в соседнюю накрестлежащую область, населённую псевдовекторами, где господствовало класовое неравенство Коши-Буняковского. И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано: "Направо пойдёшь - в бесконечность уйдёшь. Налево пойдёшь - координат не соберёшь. Прямо пойдёшь - транспонируешься". Задумались братья. Вдруг откуда ни возьмись - старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лорен.

- Знаю, братья, я вашу думу. Тяжёлое дело вы замыслили. Трудно одолеть Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А дотерминант тот находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот привязан крепко-накрепко к корням полинома Лежандра, первый узел -простой, второй - морской, третий - логарифмический. А полином тот растёт в изолированной точке и добраться до него нелегко. Лежит она за 3+9 земель в пространстве хана Бахана. И охраняет её чудище с трансцедентным числом ног, по кличке Декремент. Тот детерминант надо достать и приравнять нулю.

Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Стоят, гадают, как им быть - не знают. Вдруг откуда ни возьмись - сигма-рыба.

- Вот и пригодилась я вам, добры молодцы!

Перевезла их всех, объяснила дорогу дальше.

Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв второго рода. Опечалились векторы. Да предстал перед ними малый параметр.

- Вот и пригодился я вам, братья!

Ударился оземь, разложился по своим степеням, и перешли братья на другую сторону.

- А теперь, - говорит им параметр, - идите по следам матриц, прямо до изолированной точки.

Отыскали братья следы, смотрят - расходятся они на три стороны. Отправились они каждый по своему направлению. Шёл-шёл i1 - вдруг как из-под земли выросли перед ним неисчислимые орды хана Бахана, все, кроме быть может, одного, одетые в жорданову форму, подстриженные под скобу Пуассона.

- Эх, - опечалился вектор, - нет со мной моих любимых братьев! Да ничего! i1 в поле воин! - и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Одолели супостата.

Вдруг задрожало всё вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и появился перед векторами Декремент. Не растерялись братья, накинули на него верёвочный многоугольник. Запуталось в нём чудище. Издохло.

Нашли братья полином, разрыли корни, разрубили узлы, открыли икосаэдр, достали додекаэдр, извлекли детерминант... да и приравняли его нулю.

Тут и пришёл конец Вандермонду. И появилась перед братьями красавица Резольвента, живая и невридимая.

...Что и требовалось доказать.

Примечание.
Сказка написана для случая n0=3.
Пользуясь методом полной математической индукции, можно без труда обобщить её на случай любого n>n0.