Сижу в Тулуне, обдумываю лекции будущего года. Помимо старых,
некоторые из которых являются излюбленными моими сюжетами, я
планирую включить в "лекционный рацион" следующие пять тем.

(((Дисклеймер: я НЕ планирую включать подготовку к ЕГЭ,
ибо, как я неоднократно объяснял, на подготовку к ЕГЭ
я перейду только в том случае, если возникнет угроза
реального голода моим детям. Тем не менее, возможно,
я буду иногда разбирать у доски наиболее прикольные
из задач, предлагавшихся на ЕГЭ/олимпиадах. Жду ваших
предложений - как здесь, так и в паблике вконтакте!))

(((Ещё дисклеймер: я так ничего и не понял про биткойн,
поэтому никаких разъяснительных лекций про это не ждите!)))

1. "В погоне за хроматическими числами: эскиз доказательства Ди Грея".

В лекции будет рассказано в общих чертах, что позволило геронтологу
Обри Ди Грею в возрасте 51 год продвинуться в нашем понимании мира.
Разумеется, речь пойдёт именно о его математических конструкциях,
хотя сам факт, что Обри Ди Грей в столь почтенном возрасте сумел
сделать нечно новое и красивое, на мой взгляд, представляет собой
лучшую из возможных апробаций его профессиональной активности
по замедлению старения. Будут также поставлены некоторые задачи,
естественно вытекающие из этих конструкций, например, во сколько
цветов красится кольцо Z[\sqrt{3},\sqrt{11}] или поле Q[\sqrt{3},\sqrt{11}].

2. "Средние из $n$ чисел: арифметическое, геометрическое и другие".

В популярной лекции будут изложены три доказательства теоремы
о средних (арифметическом и геометрическом) - школьное, а также
два "высших". Кроме того, мы коснёмся вопроса о других "средних",
устанавливая общее неравенство между всеми ними.

3."Эти восхитительные цепные дроби: теория и примеры применения".

Теорема Хинчина о цепных дробях утверждает, что предел среднего
геометрического подряд идущих знаменателей у почти любой цепной
дроби всегда один и тот же. Я объясню смысл всех терминов, а потом
ошарашу слушателей тем фактом, что _ни одного_ числа, цепная дробь
которого обладала бы этим свойством, науке не известно! Впрочем, тут
нечему удивляться - мы "почти ничего" не знаем о цепных дробях. Жаль,
ибо они являются крутейшим инструментом в теории приближений, в
решении диофантовых уравнений, при проведении алгоритма Евклида
и во многих других разделах математики. На закуску я сформулирую
теорему Лагранжа о квадратичных иррациональностях (и докажу её,
если позволит время и аудитория).

4. "Покер: математика принятия игровых решений"

Покеру посвящена последняя, 12-я глава удивительной и неповторимой
книги Кена Бинмора "Fun and games". В простейшей же форме про покер
можно говорить с аудиторией, ничего не знающей о теории игр. Лекция
будет посвящена двум вариациям игры в покер, вполне передающим дух
как игры, так и ажиотажа вокруг неё. Мы найдём игровое равновесие в
каждой из двух вариаций, и обсудим идею "смешанной стратегии" в игре.

5. "Квадратичный закон взаимности: золотая теорема К.Ф.Гаусса"

Квадратичный закон взаимности является утверждением о том, что из
разрешимости сравнения $p=x^2 (mod q)$ можно вывести разрешимость
или неразрешимость сравнения $q=y^2 (mod p)$, где $p,q$~--- различные
нечётные простые числа (то есть, не равные $2$). Конкретно, достаточно
хотя бы одному из этих простых чисел давать остаток $1$ при делении
на 4, чтобы разрешимость этих двух сравнений наступала одновременно;
если же оба имеют вид $4k+3$, то разрешимость одного сравнения будет,
напротив, эквивалентна неразрешимости второго. Дополнительно нечто
утверждается про квадратичный характер числа 2, после чего возможно
быстро и эффективно проверить квадратичный характер любого числа
по модулю любого другого. Мы рассмотрим примеры, а также докажем
все сформулированные утверждения (воздав честь и хвалу Гауссу!).

https://savvateev.livejournal.com/257764.html