-Помощь новичкам

Всего опекалось новичков: 0
Проверено анкет за неделю: 0
За неделю набрано баллов: 0 (78508 место)
За все время набрано баллов: 59 (12450 место)

 -Поиск по дневнику

Поиск сообщений в Kitab

 -Подписка по e-mail

 

 -Статистика

Статистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
Создан: 27.08.2009
Записей: 1177
Комментариев: 430
Написано: 1916

Разложить функцию f(х) в ряд Фурье

Дневник

Пятница, 25 Июня 2010 г. 23:33 + в цитатник
Разложить функцию f(х) в ряд Фурье в указанном интервале:f(x) = (х - 3)^2 в интервале (0,3).Ответ:Ряд Фурье для промежутка длиной 2*L:f(x)=a0/2+∑n=1∞(an*cos(Pi*n*x/L)+bn*sin(Pi*n*x/L))a0=(1/L)*∫03f(x)dx=(2/3)*∫(x-3)2dx=(2/3)*(x-3)3/3|03=6Отдельно вычислим интегралы:∫x*cos(a*x)dx=(1/a)*(x*sin(a*x)-∫sin(a*x)dx)=(1/a)*(x*sin(a*x)+cos(a*x)/a)+C∫x*sin(a*x)dx=(1/a)*(-x*cos(a*x)+∫cos(a*x)dx)=(1/a)*(-x*cos(a*x)+sin(a*x)/a)+C∫x2*cos(a*x)dx=(1/a)*(x2*sin(a*x)-∫2*x*sin(a*x)dx)=(a2*x2*sin(a*x)-2*sin(a*x)+2*a*x*cos(a*x))/a3+C∫x2*sin(a*x)dx=(-a2*x2*cos(a*x)+2*cos(a*x)+2*a*x*sin(a*x))/a3+CC учетом того, что sin(Pi*n)=0, cos(Pi*n)=(-1)n, n=0,1,2,3... получим:an=(2/3)*& #8747;03(x-3)2*cos(Pi*n*x*2/3)dx=(2/3)*∫03(x^2-6*x+9)*cos(Pi*n*x*2/3)dx=(2/3)*∫03x2*cos(Pi*n*x*2/3)dx-4*∫03x*cos(Pi*n*x*2/3)dx+6*∫03cos(Pi*n*x*2/3)dx=(9*(Pi*n-sin(Pi*n)*cos(Pi*n)))/(Pi3*n3)=9/(Pi2*n2)bn=(2/3)*∫03(x-3)2*sin(Pi*n*x*2/3)dx=(2/3)*∫03(x^2-6*x+9)*sin(Pi*n*x*2/3)dx=(2/3)*∫03x2*sin(Pi*n*x*2/3)dx-4*∫03x*sin(Pi*n*x*2/3)dx+6*∫03sin(Pi*n*x*2/3)dx=(9*(-1+Pi2*n2+cos(Pi*n)2))/(Pi3*n3)=9/(Pi*n)f(x)=3+∑n=1∞[9*cos(2*Pi*n*x/3)/(Pi2*n2)+9*sin(2*Pi*n*x/3)/(Pi*n)]Графики f(x)(крас ный) и ряда Фурье(зеленый) при n=5.2 С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:∫(sin(x^2)/x)dx пределы интегрирования от 0 до 0,5Ответ.Разложение в ряд sin(t)=∑k=0∞(-1)k*t2*k+1/(2*k+1)!t=x2sin(x2)=∑k=0∞(-1)k*t4*k+2/(2*k+1)!sin(x2)/x=∑k=0∞(-1)k*t4*k+1/(2*k+1)!∫01/2(sin(x2)/x)dx=∫01/2(∑k=0∞(-1)k*x4*k+1/(2*k+1)!)dx=∑k=0∞(-1)k/(2*k+1)! *∫01/2x4*k+1dx=∑k=0∞(-1)k/((2*k+1)!*24*k+2*(4*k+2))при n=2∫01/2(sin(x2)/x)dx=∑k=02(-1)k/((2*k+1)!*24*k+2*(4*k+2))=1/8-1/2304+1/1228800=459203/3686400 =0,1245668...3:Вычислить ∫(3x-y)+i(x+3y)dz , где контур С — незамкнутая ломаная, соединяющая точки О (0, 0), А (3, 3) и В(0, 6).Отвт.∫Lf(z)dz=∫Ludx-vdy+i*∫Lvdx+udyu=3*x-yv=x+3*y∫Cf(z)dz=∫OAudx-vdy+∫ABudx-vdy+i*(∫OAvdx+udy+∫ABvdx+udy)для OA: y=x, dy=dx, 0≤ x ≤ 3∫OAudx-vdy=∫OA(3*x-y)dx-(x+3*y)dy=∫03(-2*x)dx= -9∫OAvdx+udy=∫OA(x+3*y)dx+(3*x-y)dy=∫036*xdx=27для AB: y=6-x, dy= -dx, 3≤ x ≤ 6∫ABudx-vdy=∫AB(3*x-y)dx-(x+3*y)dy=∫36(2*x+12)dx=63∫ABvdx+udy=∫AB(x+3*y)dx+(3*x-y)dy=∫36(-6*x+24)dx= -9Получим∫Cf(z)dz= (-9+63)+i(27+(-9))=54+18*i
Рубрики:  Математика

Метки:  

 Страницы: [1]