Приведение дробей к общему знаменателю.

Умножим числитель и знаменатель дроби на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь  , т. е. . Говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю 8. Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю данной дроби. Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем. При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
2
Пример 1. Приведем дробь у к знаменателю 35.
Решение. Число 35 кратно 7, так как 35 : 7 = 5. Дополнительным множителем является число 5. Умножим числитель и знаменатель данной дроби на 5, получим .

Десятичные дроби

Десятичная дробь. Целая часть. Десятичная точка.

Десятичные знаки. Свойства десятичных дробей.

Периодическая десятичная дробь. Период.

Десятичная дробь есть результат деления единицы на десять, сто, тысячу и т.д. частей. Эти дроби очень удобны для вычислений, так как они основаны на той же позиционной системе, на которой построены счёт и запись целых чисел. Благодаря этому запись и правила действий с десятичными дробями фактически те же, что и для целых чисел. При записи десятичных дробей нет необходимости отмечать знаменатель, это определяется местом, которое занимает соответствующая цифра. Сначала пишется целая часть числа, затем справа ставится десятичная точка. Первая цифра после десятичной точки означает число десятых, вторая – число сотых, третья – число тысячных и т.д. Цифры, расположенные после десятичной точки, называются десятичными знаками.

П р и м е р .  

Действия с обыкновенными дробями

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.

Умножение дробей. Деление дробей.

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля. Это преобразование называется расширением дроби. Например,

Обыкновенные (простые) дроби

Обыкновенная (простая) дробь. Числитель и знаменатель дроби.

Правильная и неправильная дробь. Смешанное число.

Неполное частное. Целая и дробная часть. Обратные дроби.

Часть единицы или несколько её частей называются обыкновенной или простой дробью. Количество равных частей, на которые делится единица, называется знаменателем, а количество взятых частей – числителем. Дробь записывается в виде:

Наименьшее общее кратное НОК

 Общее кратное. Наименьшее общее кратное.

 Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называетсянаименьшим общим кратным (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:

1. Наибольший общий делитель  НОД

 Общий делитель. Наибольший общий делитель.

Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа  36,  60,  42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:

Простые и составные числа

 Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:

  2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

  103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

  157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Назад

Законы сложения и умножения

 Переместительный (коммутативный) закон сложения:  m + n = n + m . Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.

Переместительный (коммутативный) закон умножения:  m · n = n · m . Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.

Сочетательный (ассоциативный) закон сложения:  ( m + n ) + k = m + ( n +  k ) = m + n + k . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.

Сочетательный (ассоциативный) закон умножения:  ( m · n ) · k = m · ( n ·  k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения:  ( m + n ) · k = m ·  k + n ·  k . Этот закон фактически расширяет правила действий со скобками.

Порядок действий. Скобки.

Результат выполнения нескольких операций зависит, вообще говоря, от порядка действий. Например,  8 – 3 + 4 = 9. Однако, если сначала сложить 3 и 4, а затем вычесть полученную сумму из 8, то получим 1. Таким образом, для получения правильного результата должен быть установлен определённый порядок действий. Чтобы указать, в каком порядке должны выполняться действия, пользуются скобками. Если скобки отсутствуют,действия выполняются в следующем порядке: 

  1)  возведение в степень и извлечение корня (в порядке их следования);

  2)  умножение и деление (в порядке их следования);

  3)  сложение и вычитание (в порядке их следования).

Арифметические операции

Сложение. Вычитание. Умножение. Деление.

Возведение в степень. Извлечение корня.  

Сложение является начальным понятием, для которого невозможно дать строгое формальное определение. Тем    не менее, чтобы придать этому действию некоторое разумное представление, мы скажем, что сложение – это операция нахождения суммы двух или нескольких чисел, где под суммой понимается общее количество единиц, содержащихся в рассматриваемых числах вместе. Эти числа называются слагаемыми. Например, 11 + 6 = 17. Здесь 11 и 6 – слагаемые, 17 – сумма. Если слагаемые поменять местами, то сумма не изменится: 11 + 6 = 17 и 6 + 11 = 17.

Вычитание является действием, обратным к сложению, так как это операция нахождения одного из слагаемых по сумме и другому слагаемому. Вычесть из одного числа (уменьшаемого) другое (вычитаемое) - значит найти такое третье число (разность), которое при сложении с вычитаемым дает уменьшаемое:  17 – 6 = 11. Здесь 17 – уменьшаемое, 6 – вычитаемое, 11 – разность.

Целые (натуральные) числа

Натуральные числа. Натуральный ряд. Целые числа.

Натуральные числа  возникли в глубокой древности как результат счета различных предметов: людей, животных, птиц, деревьев, орудий труда и т.д. Ряд натуральных чисел:

     1,  2,  3,  4,  5, …

является бесконечным и называется натуральным рядом.

Целые числа – это натуральные числа и ноль:

         0,  1,  2,  3,  4,  5, … .

Признаки делимости

Признаки делимости на 2, 4, 8, 3, 9, 6, 5, 25, 10, 100, 1000, 11.

Признак делимости на 2. Число делится на 2, если его последняя цифра - ноль или делится на 2. Числа, делящиеся на два, называются чётными, не делящиеся на два – нечётными.

Признак делимости на 4. Число делится на 4, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 4.

Признак делимости на 8. Число делится на 8, если три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признаки делимости на 3 и 9.  Число делится на 3, если его сумма цифр делится на 3. Число делится на 9, если его сумма цифр делится на 9.

 Признак делимости на 6. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра - ноль или 5.

Признак делимости на 25. Число делится на 25, если две его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10.  Число делится на 10, если его последняя цифра - ноль.

Признак делимости на 100. Число делится на 100, если две его последние цифры – нули.

Признак делимости на 1000. Число делится на 1000, если три его последние цифры – нули.

Признак делимости на 11.  На 11 делятся только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Существуют признаки делимости и для некоторых других чисел, однако они более сложные и в программе средней школы не рассматриваются.

П р и м е р . Число 378015 делится на 3, так как сумма его цифр равна: 

                      3 + 7 + 8 + 0 + 1 + 5 = 24, а это число делится на 3. Данное

                      число делится на 5, так как его последняя цифра 5. Наконец,

                      это число делится на 11, так как суммы его чётных цифр:

                      3 + 8 + 1 = 12  и нечётных цифр 7 + 0 + 5 = 12  равны.

                      Но это число не делится на  2, 4, 6, 8, 9, 10, 25, 100 и 1000, так как …

Разложение на простые множители

Всякое составное число может быть единственным образом представлено в виде произведения простых множителей. Например, 

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3,    225 = 3 · 3 · 5 · 5,   1050 = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .

Таблица степеней

Таблица степеней - перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от 1 до 10.Таблица степеней редко применяется в учебе, но когда она нужна, без нее просто не обойтись. Ведь не сразу вспомнишь сколько будет 6 в 4-ой степени! Вся таблица степенейпредставлена ниже.

Таблица степеней 1 - 10.

1 в степени:

1¹ = 1

1² = 1

1³ = 1

1⁴ = 1

1⁵ = 1

1⁶ = 1

1⁷ = 1

1⁸ = 1

1⁹ = 1

1¹⁰ = 1

Таблица умножения - это первое, что дети учат в школе по математике. Также таблицу умножения называют таблицей Пифагора или таблицей Кэли. Советуем как минимум выучит таблицу умножения с 0 - 10, учить дальше можно по желанию, но понимать нужно обязательно, иначе через несколько лет у Вашего ребенка могут возникнуть серьезные проблем с математикой. Часто незнание таблицы умножения приводит к глупым и даже обидным ошибкам. Многие дети даже до 6 - ого класса не знают, а иногда даже не понимают таблицу умножения.

Таблица умножения 1 - 10.