-–убрики

 -÷итатник

ѕавел ƒмитриевич Ўмаров (1874-1950). - (0)

–аботы до эмиграции.јнализ стил€. -ч.4.  рестный ход 1898 Ќесколько работ художника...

ќ —ергее —удейкине - (0)

  —удейкин —ергей ёрьевич (1882, —анкт-ѕетербург — 1946, Ќайак, штат Ќью-…орк,...

ѕам€ти ≈лены ќбразцовой - (0)

¬ ћариинском театре пройдет вечер пам€ти ≈лены ќбразцовой ¬ ћариинском театре пройде...

Ўильдер јндрей Ќиколаевич (1861-1919). - (0)

«имние пейзажи. «имние лесные пейзажи стали настолько каноническими, что сегодн€ ручьи и п...

Ћегендарна€ балерина “амара “уманова - (0)

„ерна€ жемчужина русского балета: как эмигрантка из “ифлиса покорила Ћа —кала,  овент-√арден и √олли...

 - нопки рейтинга Ђяндекс.блогиї

 -¬сегда под рукой

 -ѕоиск по дневнику

ѕоиск сообщений в “омаовс€нка

 -ѕодписка по e-mail

 

 -—татистика

—татистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
—оздан: 20.04.2011
«аписей:
 омментариев:
Ќаписано: 50316

ѕропорции золотого сечени€

¬оскресенье, 06 Ќо€бр€ 2011 г. 12:24 + в цитатник

 

Ёнциклопеди€ замечательных людей и идей
«ќЋќ“ќ≈ —≈„≈Ќ»≈
 
  «олотое сечение и пропорци€ «олотое сечение в живописи
  »стори€ золотого сечени€ «олотое сечение в скульптуре
  ¬торое золотое сечение «олотое сечение в природе
  ќбобщенное золотое сечение «олотое сечение и парки
  –€д ‘ибоначчи  
 
¬ведение                      
 
„еловек различает окружающие его предметы по форме. »нтерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. ‘орма, в основе построени€ которой лежат сочетание симметрии и золотого сечени€, способствует наилучшему зрительному воспри€тию и по€влению ощущени€ красоты и гармонии. ÷елое всегда состоит из частей, части разной величины наход€тс€ в определенном отношении друг к другу и к целому. ѕринцип золотого сечени€ – высшее про€вление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. ≈ще в эпоху ¬озрождени€ художники открыли, что люба€ картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. ѕри этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. “аких точек всего четыре, и расположены они на рассто€нии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.

«олотое сечение картины
  ƒанное открытие у художников того времени получило название"золотое сечение" картины. ѕоэтому, дл€ того чтобы привлечь внимание к главному элементу фотографии, необходимо совместить этот элемент с одним из зрительных центров.

«олотое сечение – гармоническа€ пропорци€
¬ математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b= c : d.

ќтрезок пр€мой ј¬ можно разделить на две части следующими способами:

- на две равные части – ј¬ : ј—= ј¬ : ¬—;

- на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

таким образом, когда ј¬ : ј—= ј— : ¬—.
ѕоследнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

«олотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относитс€ к большей части, как сама больша€ часть относитс€ к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относитс€ к большему, как больший ко всему
a : b= b : c или с : b= b : а.

 

√еометрическое изображение золотой пропорции
–ис. 1.
√еометрическое изображение золотой пропорции
ѕрактическое знакомство с золотым сечением начинают с делени€ отрезка пр€мой в золотой пропорции с помощью циркул€ и линейки.

–ис. 2. ƒеление отрезка пр€мой по золотому сечению. BC= 1/2 AB; CD= BC
«олотое сечение - построение
»з точки ¬ восставл€етс€ перпендикул€р, равный половине ј¬. ѕолученна€ точка — соедин€етс€ линией с точкой ј. Ќа полученной линии откладываетс€ отрезок ¬—, заканчивающийс€ точкой D. ќтрезок AD переноситс€ на пр€мую ј¬. ѕолученна€ при этом точка ≈ делит отрезок ј¬ в соотношении золотой пропорции.ќтрезки золотой пропорции выражаютс€ бесконечной иррациональной дробью AE= 0,618..., если ј¬ прин€ть за единицу, ¬≈= 0,382... ƒл€ практических целей часто используют приближенные значени€ 0,62 и 0,38. ≈сли отрезок ј¬ прин€ть за 100 частей, то больша€ часть отрезка равна 62, а меньша€ – 38 част€м.
—войства золотого сечени€ описываютс€ уравнением:
x2 – x – 1= 0
–ешение этого уравнени€:
—войства золотого сечени€ создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонени€.

 

 
¬торое золотое сечение
Ѕолгарский журнал “ќтечество” (є10, 1983 г.) опубликовал статью ÷ветана ÷екова- арандаша “ќ втором золотом сечении”, которое вытекает из основного сечени€ и дает другое отношение 44 : 56.“ака€ пропорци€ обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

»стори€ золотого сечени€
ѕрин€то считать, что пон€тие о золотом делении ввел в научный обиход ѕифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). ≈сть предположение, что ѕифагор свое знание золотого делени€ позаимствовал у египт€н и вавилон€н. » действительно, пропорции пирамиды ’еопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы “утанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношени€ми золотого делени€ при их создании. ‘ранцузский архитектор Ће  орбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона —ети I в јбидосе и в рельефе, изображающем фараона –амзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого делени€. «одчий ’есира, изображенный на рельефе дерев€нной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого делени€.√реки были искусными геометрами. ƒаже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур.  вадрат ѕифагора и диагональ этого квадрата были основанием дл€ построени€ динамических пр€моугольников.ѕлатон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. ≈го диалог ““имей” посв€щен математическим и эстетическим воззрени€м школы ѕифагора и, в частности, вопросам золотого делени€.¬ фасаде древнегреческого храма ѕарфенона присутствуют золотые пропорции. ѕри его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. ¬ ѕомпейском циркуле (музей в Ќеаполе) также заложены пропорции золотого делени€.¬ дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминаетс€ в “Ќачалах” ≈вклида. ¬о 2-й книге “Ќачал” даетс€ геометрическое построение золотого делени€ ѕосле ≈вклида исследованием золотого делени€ занимались √ипсикл (II в. до н.э.), ѕапп (III в. н.э.) и др. ¬ средневековой ≈вропе с золотым делением познакомились по арабским переводам “Ќачал” ≈вклида. ѕереводчик ƒж.  ампано из Ќаварры (III в.) сделал к переводу комментарии. —екреты золотого делени€ ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. ќни были известны только посв€щенным.

¬ эпоху ¬озрождени€ усиливаетс€ интерес к золотому делению среди ученых и художников в св€зи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Ћеонардо да ¬инчи, художник и ученый, видел, что у италь€нских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. ќн задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это врем€ по€вилась книга монаха Ћуки ѕачоли, и Ћеонардо оставил свою затею. ѕо мнению современников и историков науки, Ћука ѕачоли был насто€щим светилом, величайшим математиком »талии в период между ‘ибоначчи и √алилеем. Ћука ѕачоли был учеником художника ѕьеро делла ‘ранчески, написавшего две книги, одна из которых называлась “ќ перспективе в живописи”. ≈го считают творцом начертательной геометрии.

Ћука ѕачоли прекрасно понимал значение науки дл€ искусства. ¬ 1496 г по приглашению герцога ћоро он приезжает в ћилан, где читает лекции по математике. ¬ ћилане при дворе ћоро в то врем€ работал и Ћеонардо да ¬инчи. ¬ 1509 г. в ¬енеции была издана книга Ћуки ѕачоли “Ѕожественна€ пропорци€” с блест€ще выполненными иллюстраци€ми, ввиду чего полагают, что их сделал Ћеонардо да ¬инчи.  нига была восторженным гимном золотой пропорции. —реди многих достоинств золотой пропорции монах Ћука ѕачоли не преминул назвать и ее “божественную суть” как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух св€той (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа св€того).

Ћеонардо да ¬инчи также много внимани€ удел€л изучению золотого делени€. ќн производил сечени€ стереометрического тела, образованного правильными п€тиугольниками, и каждый раз получал пр€моугольники с отношени€ми сторон в золотом делении. ѕоэтому он дал этому делению название золотое сечение. “ак оно и держитс€ до сих пор как самое попул€рное.

¬ то же врем€ на севере ≈вропы, в √ермании, над теми же проблемами трудилс€ јльбрехт ƒюрер. ќн делает наброски введени€ к первому варианту трактата о пропорци€х. ƒюрер пишет. “Ќеобходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаютс€. Ёто € и вознамерилс€ сделать”.

—уд€ по одному из писем ƒюрера, он встречалс€ с Ћукой ѕачоли во врем€ пребывани€ в »талии. јльбрехт ƒюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. ¬ажное место в своей системе соотношений ƒюрер отводил золотому сечению. –ост человека делитс€ в золотых пропорци€х линией по€са, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижн€€ часть лица – ртом и т.д. »звестен пропорциональный циркуль ƒюрера.

¬еликий астроном XVI в. »оган  еплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. ќн первый обращает внимание на значение золотой пропорции дл€ ботаники (рост растений и их строение).

 еплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себ€ “”строена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорци€ сохран€етс€ до бесконечности”.

ѕостроение р€да отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличени€ (возрастающий р€д), так и в сторону уменьшени€ (нисход€щий р€д).

≈сли на пр€мой произвольной длины, отложить отрезок m, р€дом откладываем отрезок M.

¬ последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы “вместе с водой выплеснули и ребенка”. ¬новь “открыто” золотое сечение было в середине XIX в. ¬ 1855 г. немецкий исследователь золотого сечени€ профессор ÷ейзинг опубликовал свой труд “Ёстетические исследовани€”. — ÷ейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает €вление как таковое, без св€зи с другими €влени€ми. ќн абсолютизировал пропорцию золотого сечени€, объ€вив ее универсальной дл€ всех €влений природы и искусства. ” ÷ейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объ€вили его учение о пропорци€х “математической эстетикой”.

—праведливость своей теории ÷ейзинг провер€л на греческих стату€х. Ќаиболее подробно он разработал пропорции јполлона Ѕельведерского. ѕодверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружени€ различных эпох, растени€, животные, птичьи €йца, музыкальные тона, стихотворные размеры. ÷ейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражаетс€ в отрезках пр€мой и в цифрах.  огда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, ÷ейзинг увидел, что они составл€ют р€д ‘ибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. —ледующа€ его книга имела название “«олотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве”. ¬ 1876 г. в –оссии была издана небольша€ книжка, почти брошюра, с изложением этого труда ÷ейзинга. јвтор укрылс€ под инициалами ё.‘.¬. ¬ этом издании не упом€нуто ни одно произведение живописи.
¬ конце XIX – начале XX вв. по€вилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечени€ в произведени€х искусства и архитектуры. — развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечени€ распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

–€д ‘ибоначчи
— историей золотого сечени€ косвенным образом св€зано им€ италь€нского математика монаха Ћеонардо из ѕизы, более известного под именем ‘ибоначчи (сын Ѕоначчи). ќн много путешествовал по ¬остоку, познакомил ≈вропу с индийскими (арабскими) цифрами. ¬ 1202 г вышел в свет его математический труд “ нига об абаке” (счетной доске), в котором были собраны все известные на то врем€ задачи. ќдна из задач гласила “—колько пар кроликов в один год от одной пары родитс€”. –азмышл€€ на эту тему, ‘ибоначчи выстроил такой р€д цифр:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д.
–€д чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как р€д ‘ибоначчи. ќсобенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начина€ с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 и т.д., а отношение смежных чисел р€да приближаетс€ к отношению золотого делени€. “ак, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Ёто отношение обозначаетс€ символом ‘. “олько это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка пр€мой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относитс€ к большему, как больший ко всему.

‘ибоначчи так же занималс€ решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? ‘ибоначчи доказывает, что оптимальной €вл€етс€ така€ система гирь: 1, 2, 4, 8, 16...

ќбобщенное золотое сечение
–€д ‘ибоначчи мог бы остатьс€ только математическим казусом, если бы не то обсто€тельство, что все исследователи золотого делени€ в растительном и в животном мире, не говор€ уже об искусстве, неизменно приходили к этому р€ду как арифметическому выражению закона золотого делени€. ”ченые продолжали активно развивать теорию чисел ‘ибоначчи и золотого сечени€. ё. ћати€севич с использованием чисел ‘ибоначчи решает 10-ю проблему √ильберта. ¬озникают из€щные методы решени€ р€да кибернетических задач (теории поиска, игр, программировани€) с использованием чисел ‘ибоначчи и золотого сечени€. ¬ —Ўј создаетс€ даже ћатематическа€ ‘ибоначчи-ассоциаци€, котора€ с 1963 года выпускает специальный журнал. ќдним из достижений в этой области €вл€етс€ открытие обобщенных чисел ‘ибоначчи и обобщенных золотых сечений.

–€д ‘ибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же “двоичный” р€д гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгл€д совершенно разные. Ќо алгоритмы их построени€ весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2= 1 + 1; 4= 2 + 2..., во втором – это сумма двух предыдущих чисел 2= 1 + 1, 3= 2 + 1, 5= 3 + 2.... Ќельз€ ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаютс€ и “двоичный” р€д, и р€д ‘ибоначчи? ј может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

ƒействительно, зададимс€ числовым параметром S, который может принимать любые значени€: 0, 1, 2, 3, 4, 5... –ассмотрим числовой р€д, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отсто€щего от предыдущего на S шагов. ≈сли n-й член этого р€да обозначим через ?S (n),  получим общую формулу ?S (n)= ?S (n – 1) + ?S (n – S – 1).

ќчевидно, что при S= 0 из этой формулы мы получим “двоичный” р€д, при S= 1 – р€д ‘ибоначчи, при S= 2, 3, 4. новые р€ды чисел, которые получили название S-чисел ‘ибоначчи.

¬ общем виде золота€ S-пропорци€ есть положительный корень уравнени€ золотого S-сечени€ xS+1 – xS – 1= 0.

Ќетрудно показать, что при S= 0 получаетс€ деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

ќтношени€ соседних S-чисел ‘ибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорци€ми! ћатематики в таких случа€х говор€т, что золотые S-сечени€ €вл€ютс€ числовыми инвариантами S-чисел ‘ибоначчи.

‘акты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Ё.ћ. —ороко в книге “—труктурна€ гармони€ систем” (ћинск, “Ќаука и техника”, 1984). ќказываетс€, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, €рко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов св€заны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Ёто позволило автору выдвинуть гипотезу о том, что золотые S-сечени€ есть числовые инварианты самоорганизующихс€ систем. Ѕудучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение дл€ развити€ синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихс€ системах.— помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.ѕринципиальное отличие такого способа кодировани€ чисел заключаетс€ в том, что основани€ новых кодов, представл€ющие собой золотые S-пропорции, при S> 0 оказываютс€ иррациональными числами. “аким образом, новые системы счислени€ с иррациональными основани€ми как бы став€т “с головы на ноги” исторически сложившуюс€ иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. ƒело в том, что сначала были “открыты” числа натуральные; затем их отношени€ – числа рациональные. » лишь позже – после открыти€ пифагорейцами несоизмеримых отрезков – на свет по€вились иррациональные числа. —кажем, в дес€тичной, п€теричной, двоичной и других классических позиционных системах счислени€ в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.—воего рода альтернативой существующим способам счислени€ выступает нова€, иррациональна€ система, в качестве первоосновы, начала счислени€ которой выбрано иррациональное число (€вл€ющеес€, напомним, корнем уравнени€ золотого сечени€); через него уже выражаютс€ другие действительные числа.¬ такой системе счислени€ любое натуральное число всегда представимо в виде конечной, – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Ёто одна из причин, почему “иррациональна€” арифметика, облада€ удивительной математической простотой и из€ществом, как бы вобрала в себ€ лучшие качества классической двоичной и “‘ибоначчиевой” арифметик.

ѕринципы формообразовани€ в природе
¬се, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось зан€ть место в пространстве и сохранить себ€. Ёто стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали. –аковина закручена по спирали. ≈сли ее развернуть, то получаетс€ длина, немного уступающа€ длине змеи. Ќебольша€ дес€тисантиметрова€ раковина имеет спираль длиной 35 см. —пирали очень распространены в природе. ѕредставление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.
‘орма спирально завитой раковины привлекла внимание јрхимеда. ќн изучал ее и вывел уравнение спирали. —пираль, вычерченна€ по этому уравнению, называетс€ его именем. ”величение ее шага всегда равномерно. ¬ насто€щее врем€ спираль јрхимеда широко примен€етс€ в технике.
≈ще √ете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. ¬интообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. —пираль увидели в расположении сем€н подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. —овместна€ работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные €влени€ природы. ¬ы€снилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), сем€н подсолнечника, шишек сосны про€вл€ет себ€ р€д ‘ибоначчи, а стало быть, про€вл€ет себ€ закон золотого сечени€. ѕаук плетет паутину спиралеобразно. —пиралью закручиваетс€ ураган. »спуганное стадо северных оленей разбегаетс€ по спирали. ћолекула ƒЌ  закручена двойной спиралью. √ете называл спираль “кривой жизни”.
—реди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. ѕригл€димс€ к нему внимательно. ќт основного стебл€ образовалс€ отросток. “ут же расположилс€ первый листок.
ќтросток делает сильный выброс в пространство, останавливаетс€, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. ≈сли первый выброс прин€ть за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. ƒлина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. ¬ росте, завоевании пространства растение сохран€ло определенные пропорции. »мпульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечени€.
¬ €щерице с первого взгл€да улавливаютс€ при€тные дл€ нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относитс€ к длине остального тела, как 62 к 38.
» в растительном, и в животном мире настойчиво пробиваетс€ формообразующа€ тенденци€ природы – симметри€ относительно направлени€ роста и движени€. «десь золотое сечение про€вл€етс€ в пропорци€х частей перпендикул€рно к направлению роста.
ѕрирода осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. ¬ част€х про€вл€етс€ повторение строени€ целого.
¬еликий √ете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учени€ о форме, образовании и преобразовании органических тел. Ёто он ввел в научный обиход термин морфологи€.
ѕьер  юри в начале нашего столети€ сформулировал р€д глубоких идей симметрии. ќн утверждал, что нельз€ рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитыва€ симметрию окружающей среды.
«акономерности “золотой” симметрии про€вл€ютс€ в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Ёти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также про€вл€ютс€ в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного воспри€ти€.
«олотое сечение и симметри€
«олотое сечение нельз€ рассматривать само по себе, отдельно, без св€зи с симметрией. ¬еликий русский кристаллограф √.¬. ¬ульф (1863...1925) считал золотое сечение одним из про€влений симметрии. «олотое деление не есть про€вление асимметрии, чего-то противоположного симметрии —огласно современным представлени€м золотое деление – это асимметрична€ симметри€. ¬ науку о симметрии вошли такие пон€ти€, как статическа€ и динамическа€ симметри€. —татическа€ симметри€ характеризует покой, равновесие, а динамическа€ – движение, рост. “ак, в природе статическа€ симметри€ представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. ƒинамическа€ симметри€ выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. —татической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. ƒинамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражаетс€ в величинах золотого сечени€ возрастающего или убывающего р€да.
–азгадка тайны золотого сечени€

«олотое сечение - это сечение отрезка на две части так, что длина большей части относитс€ к длине меньшей части так же, как длина всего отрезка к длине большей части.

«олотой вурф - это последовательный р€д отрезков, когда смежные отрезки наход€тс€ в отношении золотого сечени€.
–ассмотрим гармонический процесс колебаний струны. Ќа струне могут создаватьс€ сто€чие волны основной и высших гармоник (обертонов). ƒлины полуволн гармонического р€да соответствуют функции 1/N, где N - натуральное число. ƒлины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100% 50% 33% 25% 20%... ¬озбудить ту или иную гармонику можно воздействием на соответствующий участок струны. ¬ случае воздействи€ на произвольный участок струны будут возбуждатьс€ все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые завис€т от координаты участка, от ширины участка и от частотно- временных характеристик воздействи€.

ѕси-функции Ўредингера
¬ведем функцию восприимчивости струны к импульсному воздействию. ”читыва€ разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, получим знакопеременную функцию, котора€ в первом приближении соответствует функции Ѕессел€, а по большому счету ѕси-функции Ўредингера. ¬ыгл€дит она приблизительно следующим образом:
≈сли точку закреплени€ прин€ть за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й - 50%, по 3-ей - 33% и т.д. ѕосмотрим, где будет наша функци€ пересекать ось абсцисс.
62% 38% 23.6% 14.6% 9% 5,6% 3.44% 2.13% 1.31% 0.81% 0.5% 0.31% 0.19% 0.12% ...
Ёто пропорци€ золотого вурфа.  аждое следующее число в 0.618 раз отличаетс€ от предыдущего. ѕолучилось следующее: ¬озбуждение струны в точке, дел€щей ее в отношении золотого сечени€ на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечени€ - это точка компенсации, демпфировани€. ƒл€ демпфировани€ на более высоких частотах, к примеру на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс. ≈сли мы создадим пр€моугольный плоский резонатор электромагнитных колебаний, стороны которого относ€тс€ в пропорции золотого сечени€, то колебани€ в таком резонаторе будут разделены по двум степен€м свободы, т.к. колебани€ вдоль большей стороны не смогут возбудить колебаний вдоль меньшей стороны, т.к. дл€ меньшей стороны длина большей стороны соответствует точке компенсации.
“еперь становитс€ пон€тной причина, побудивша€ создать пр€моугольные €чейки с пропорцией золотого сечени€ на летательных аппаратах с электромагнитными источниками энергии. Ёто позволило сориентировать электромагнитные колебани€ по нужному направлению (вертикально или горизонтально). ƒалее, эти пропорции уже были отражены в архитектуре культовых сооружений и стали канонами искусства.
«олотое сечение в скульптуре
—кульптурные сооружени€, пам€тники воздвигаютс€, чтобы увековечить знаменательные событи€, сохранить в пам€ти потомков имена прославленных людей, их подвиги и де€ни€. »звестно, что еще в древности основу скульптуры составл€ла теори€ пропорций. ќтношени€ частей человеческого тела св€зывались с формулой золотого сечени€.ѕропорции “золотого сечени€” создают впечатление гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведени€х.—кульпторы утверждают, что тали€ делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечени€”. “ак, например, знаменита€ стату€ јполлона Ѕельведерского состоит из частей, дел€щихс€ по золотым отношени€м.¬еликий древнегреческий скульптор ‘идий часто использовал “золотое сечение” в своих произведени€х. —амыми знаменитыми из них были стату€ «евса ќлимпийского (котора€ считалась одним из чудес света) и јфины ѕарфенос.
«олотое сечение в архитектуре
¬ книгах о “золотом сечении” можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положени€ наблюдател€, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутс€ образующими “золотое сечение”, то с других точек зрени€ они будут выгл€деть иначе. “«олотое сечение” дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

ќдним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры €вл€етс€ ѕарфенон (V в. до н. э.).

ѕарфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Ѕлагородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) дл€ скульптуры. ќтношение высоты здани€ к его длине равно 0,618. ≈сли произвести деление ѕарфенона по “золотому сечению”, то получим те или иные выступы фасада.

ƒругим примером из архитектуры древности €вл€етс€ ѕантеон.

»звестный русский архитектор ћ.  азаков в своем творчестве широко использовал “золотое сечение”.

≈го талант был многогранным, но в большей степени он раскрылс€ в многочисленных осуществленных проектах жилых домов и усадеб. Ќапример, “золотое сечение” можно обнаружить в архитектуре здани€ сената в  ремле. ѕо проекту ћ.  азакова в ћоскве была построена √олицынска€ больница, котора€ в насто€щее врем€ называетс€ ѕервой клинической больницей имени Ќ.». ѕирогова (Ћенинский проспект, д. 5).

≈ще один архитектурный шедевр ћосквы – дом ѕашкова – €вл€етс€ одним из наиболее совершенных произведений архитектуры ¬. Ѕаженова.

ѕрекрасное творение ¬. Ѕаженова прочно вошло в ансамбль центра современной ћосквы, обогатило его. Ќаружный вид дома сохранилс€ почти без изменений до наших дней, несмотр€ на то, что он сильно обгорел в 1812 г.

ѕри восстановлении здание приобрело более массивные формы. Ќе сохранилась и внутренн€€ планировка здани€, о которой дают представлени€ только чертеж нижнего этажа.

ћногие высказывани€ зодчего заслуживают внимание и в наши дни. ќ своем любимом искусстве ¬. Ѕаженов говорил: “јрхитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здани€...   достижению сего служит руководством знание пропорции, перспектива, механика или вообще физика, а всем им общим вождем €вл€етс€ рассудок

«олотое сечение в живописи
ѕереход€ к примерам “золотого сечени€” в живописи, нельз€ не остановить своего внимани€ на творчестве Ћеонардо да ¬инчи. ≈го личность – одна из загадок истории. —ам Ћеонардо да ¬инчи говорил: “ѕусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.
ќн снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гени€, предвосхитившего многие изобретени€, которые не были осуществлены вплоть до XX в.
Ќет сомнений, что Ћеонардо да ¬инчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и де€тельность останутс€ покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не св€зное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говоритс€ “обо всем на свете”.
ќн писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Ёто самый известный из существующих образец зеркального письма.
ѕортрет ћонны Ћизы (ƒжоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композици€ рисунка основана на золотых треугольниках, €вл€ющихс€ част€ми правильного звездчатого п€тиугольника. —уществует очень много версий об истории этого портрета. ¬от одна из них.
ќднажды Ћеонардо да ¬инчи получил заказ от банкира ‘ранческо де ле ƒжокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, ћонны Ћизы. ∆енщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Ћеонардо согласилс€ писать портрет. ≈го модель была печальной и грустной, но Ћеонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.
—казка
∆ил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и с€к. » вот пришла за отцом смерть. ѕеред тем, как расстатьс€ с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “—ыны мои, скоро € умру.  ак только вы схороните мен€, заприте хижину и идите на край света добывать себе счасть€. ѕусть каждый из вас чему-нибудь научитс€, чтобы мог кормить сам себ€”. ќтец умер, а сыновь€ разошлись по свету, договорившись спуст€ три года вернутьс€ на пол€ну родной рощи. ѕришел первый брат, который научилс€ плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. ¬ернулс€ второй брат, увидел дерев€нную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил дл€ нее красивую шелковую одежду. “ретий сын украсил женщину золотом и драгоценными камн€ми – ведь он был ювелир. Ќаконец, пришел четвертый брат. ќн не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земл€, деревь€, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. ќн запел песню, от которой заплакали притаившиес€ за кустами брать€. ѕесней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула. Ѕрать€ бросились к ней и каждый кричал одно и то же: ““ы должна быть моей женой”. Ќо женщина ответила: ““ы мен€ создал – будь мне отцом. “ы мен€ одел, а ты украсил – будьте мне брать€ми.
ј ты, что вдохнул в мен€ душу и научил радоватьс€ жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.
 ончив сказку, Ћеонардо взгл€нул на ћонну Ћизу, ее лицо озарилось светом, глаза си€ли. ѕотом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и прин€ла обычную позу. Ќо дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчеза€ с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придава€ лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее хран€, не может сдержать торжество. Ћеонардо молча работал, бо€сь упустить этот момент, этот луч солнца, осветивший его скучную модель...
“рудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Ћеонардо строени€ человеческого тела, благодар€ которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку. √оворили о выразительности отдельных частей картины и о пейзаже, небывалом спутнике портрета. “олковали о естественности выражени€, о простоте позы, о красоте рук. ’удожник сделал еще небывалое: на картине изображен воздух, он окутывает фигуру прозрачной дымкой. Ќесмотр€ на успех, Ћеонардо был мрачен, положение во ‘лоренции показалось художнику т€гостным, он собралс€ в дорогу. Ќе помогли ему напоминани€ о нахлынувших заказах.
 
«олотое сечение в картине ». ». Ўишкина"—основа€ роща"
Ќа этой знаменитой картине ». ». Ўишкина с очевидностью просматриваютс€ мотивы золотого сечени€. ярко освещенна€ солнцем сосна (сто€ща€ на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. —права от сосны - освещенный солнцем пригорок. ќн делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. —лева от главной сосны находитс€ множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.
Ќаличие в картине €рких вертикалей и горизонталей, дел€щих ее в отношении золотого сечени€, придает ей характер уравновешенности и спокойстви€, в соответствии с замыслом художника.  огда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимс€ действием, подобна€ геометрическа€ схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становитс€ неприемлемой.
—основа€ роща Ўишкина
«олотое сечение в картине Ћеонардо да ¬инчи "ƒжоконда"
ћона Ћиза Ћеонардо да ¬инчи
ѕортрет ћоны Ћизы привлекает тем, что композици€ рисунка построена на"золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, €вл€ющихс€ кусками правильного звездчатого п€тиугольника).
«олота€ спираль в картине –афаэл€"»збиение младенцев"
¬ отличии от золотого сечени€ ощущение динамики, волнени€ про€вл€етс€, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. ћногофигурна€ композици€, выполненна€ в 1509 - 1510 годах –афаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в ¬атикане, как раз отличаетс€ динамизмом и драматизмом сюжета. –афаэль так и не довел свой замысел до завершени€, однако, его эскиз был гравирован неизвестным италь€нским графиком ћаркантинио –аймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру"»збиение младенцев".
Ќа подготовительном эскизе –афаэл€ проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. ≈сли естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получаетс€ ...золота€ спираль! Ёто можно проверить, измер€€ отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на пр€мых, проход€щих через начало кривой.
–афаэль
ћы не знаем, рисовал ли на самом деле –афаэль золотую спираль при создании композиции"»збиение младенцев" или только"чувствовал" ее. ќднако с уверенностью можно сказать, что гравер –аймонди эту спираль увидел. ќб этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Ёти элементы можно увидеть на окончательной гравюре –аймонди: арка моста, идуща€ от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. ѕервоначальную композицию –афаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творени€. √лава школы романтизма французский художник Ёжен ƒелакруа (1798 - 1863) писал о нем:"¬ сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции –афаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнилс€. ¬ самых простых, как и в самых величественных, композици€х повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных пор€док в чарующую гармонию". ¬ композиции"»збиение младенцев" очень €рко про€вл€ютс€ эти черты великого мастера. ¬ ней прекрасно сочетаютс€ динамизм и гармони€. Ётому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка –афаэл€: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечени€ как пропорции, определ€ющей развертывание спирали.
 
"Ќеобходимо прекрасному зданию быть построенным подобно хорошо сложенному человеку" (ѕавел ‘лоренский)
ћожно ли “поверить алгеброй гармонию”? “ƒа”, – считал Ћеонардо и указал, как это сделать. “«олотое сечение” – не середина, а пропорци€ – несложное математическое соотношение, содержащее в себе “закон звезды и формулу цветка”, рисунок на хитиновом покрове животных, длину ветвей дерева, пропорции человеческого тела. ¬идишь гармоничную композицию, пропорциональное телосложение или здание, радующее глаз, – измерь и придешь к одной и той же формуле. ¬о времена ¬озрождени€ дл€ проверки “закона гармонии” измер€ли античные статуи, полтора века назад пропорции “золотого сечени€” провер€ли, соотнос€ длину ноги и туловища гвардейских солдат, – все совершенно точно.
’удожник јлександр ѕанкин исследует законы красоты… на знаменитых квадратах  азимира ћалевича.
– ¬ начале 80-х на лекции о ћалевиче прос€т показать слайд “„ерного квадрата”. ѕосле того как изображение по€вл€етс€ на экране, лектор строго произносит: “ѕереверните, пожалуйста”. ћы сме€лись: трудно пон€ть простому человеку, зачем такое рисовать. Ёто красиво?
– »сследу€ картины ћалевича с циркулем и с линейкой, € пришел к выводу, что они удивительно гармоничны. «десь нет ни одного случайного элемента. ¬з€в единственный отрезок, – скажем, размер холста или сторону квадрата, – можно по одной формуле выстроить всю картину. ≈сть квадраты, все элементы которых соотнос€тс€ в пропорции “золотого сечени€”, а знаменитый “„ерный квадрат” нарисован в пропорции квадратного корн€ из двух.
– ј вы рисуете эти пропорции на пол€х дл€ полного сходства со школьной задачей по геометрии?
– “о, чем € занимаюсь, можно назвать “объективным искусством”. Ќа первый взгл€д какое же это творчество, если не ставитс€ задача выразить свою индивидуальность? —уществует даже такое выражение – “художник узнаваем”. Ќо € обнаружил удивительную закономерность: чем меньше стремлени€ самовыразитьс€, тем больше творчества. “ам, где рамки слишком широки, где все можно, мы постепенно приходим к тому, что люди начинают портить полотна (скажем, Ѕренер подошел к картине ћалевича с баллончиком краски), некоторые иконы режут и говор€т: “ј € так вижу”. ¬ажен канон. Ќе случайно в иконописи он так строго соблюдаетс€. ƒл€ творчества лучше не настежь открытые двери, а чтобы надо было пролезать в щель. ћен€ интересует форма, как она образуетс€ и развиваетс€ сама по себе.
– Ёто же компьютерный алгоритм, при чем тут живопись?
– ¬ 1918 году ћалевич сказал, что живопись кончилась, – осталась только геометри€. ¬ том году он нарисовал белый квадрат на белом фоне. Ќо потом случилось “возвращение ћалевича на «емлю”, его живопись опредметилась. Ќаука не поглотила искусство, но в те исторические периоды, когда геометри€ и искусство сближались, это давало импульс к развитию того и другого. “ак было во времена ¬озрождени€, когда Ћеонардо исследовал пропорции “золотого сечени€”, и в начале ’’ века, когда ѕоль —езанн сказал: ““рактуйте природу посредством цилиндра, шара, конуса”. ≈сли импрессионисты рисовали нечто личное, изменчивое, то кубистов, наоборот, интересовал формообразующий элемент – каркас. —ейчас проход€т конференции “ћатематика и искусство” и семинары, где встречаютс€ ученые и художники, случаютс€ насто€щие открыти€. —о времен Ћеонардо известен так называемый числовой р€д ‘ибоначчи: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34... Ёто “золота€” последовательность чисел, по этому закону располагаютс€ листь€ цветка и семечки в подсолнухе. я изобразил этот р€д на плоскости в виде треугольников. ѕолучилась удивительна€ вещь. „лены р€да ‘ибоначчи очень быстро растут: треугольник превращалс€ в стрелу, две стороны уход€т в бесконечность, а один из катетов все врем€ остаетс€ равным п€ти! ƒо этого € не понимал, что такое “конечна€ бесконечность”! ѕосмотрев на эту картину, профессор јлександр «енкин математически доказал: така€ система треугольников – это €дро р€да ‘ибоначчи. ќбнаружилс€ новый математический объект!
– “реугольники ѕанкина?
– Ќа одном семинаре были предложени€ так их и назвать, потому что эту математическую закономерность почему-то раньше никто не замечал.
– ћожет быть, вы исследуете гармонию ћалевича не потому, что видите в его творчестве особый смысл, а потому, что другие картины сложнее под формулу подогнать?
– ѕочему же! ѕоследнее врем€ мне хочетс€ так же исследовать “Ќезнакомку”  рамского. я посмотрел: там тоже в основе лежит “золотое сечение”. “е же правила и закономерности, которые € нащупал в картинах ћалевича, можно приложить и к другим картинам, очень интересные вещи получатс€.  артины ћалевича – это краеугольный камень формообразовани€, мимо него нельз€ пройти. “„ерный квадрат” – точка отсчета, космическа€ воронка, куда искусство попадает и выходит измененным. ѕо€вл€ютс€ новые пространства. ” передвижников или у натуралистов типа Ўилова картина – это окно, за которым в обычной пр€мой перспективе располагаютс€ трехмерные объекты. ” —езанна пространства лежат на холсте. ¬ иконах одновременно присутствуют две точки зрени€: смотришь со своего места и одновременно будто находишьс€ внутри происход€щего. ѕространство опредмечиваетс€, не зр€ иконам не нужны рамки. ћне кажетс€, в будущем пространство картины будет лежать не за холстом, а перед ним…
– Ќедавно в магазине € увидела плакат с “„ерным квадратом”. ќбрадовалась и купила, хотела повесить дома, а потом передумала. Ќеуютно спать, когда над кроватью “„ерный квадрат” висит. ј вы хотели бы у себ€ над кроватью повесить квадрат ћалевича?
– „естно говор€, у мен€ над кроватью мои картины вис€т, они у мен€ всюду вис€т. ј хотел бы… наверное, »ванова – “явление ’риста народу”. ”дивительна€ композици€ – фигура ’риста в центре и от нее будто лучи расход€тс€. –аньше € почему-то этого не замечал…
 
«акономерности построени€ пространственной композиции парка
1) —оотношени€ парковых объемных форм
—оотношени€ объемных элементов парка - декоративной древесной и кустарниковой растительности, малых архитектурных форм, фонтанов, террас - образуют композицию объемных форм.  омпозици€ формы может быть трех видов: фронтальной, объемной и глубинно-пространственной. ‘ронтальна€ композици€ характеризуетс€ преобладанием горизонтальных и вертикальных элементов над глубиной формы, при объемной - все три измерени€ имеют примерно одинаково значение, а при глубинно-пространственной - плоскости и объемы организуют так, чтобы все виды и панорамы раскрывались по принципу возрастающей эмоциональной нагрузки.  омпозици€ парка должна иметь четкую внутреннюю пространственную ориентацию, позвол€ющую посетителю легко находить композиционные центры. ƒекоративна€ древесна€ и кустарникова€ растительность, малые архитектурные формы и другие объемные элементы садово-парковой композиции наход€тс€ в определенных соотношени€х, которые при рациональном их использовании усиливают художественную выразительность парковых пейзажей.
ќгромное разнообразие соотношений форм парковых элементов, естественных и искусственных, обусловливаетс€ величиной, геометрическим строением, положением в пространстве, освещенностью, цветом, фактурой.   композиционным средствам, используемым при формировании больших парковых пространств, относ€тс€ линейна€ и воздушна€ перспективы, членение глубинного пространства, синтез искусств и другие. —оотношение форм по величине (высоте, ширине, длине). ¬еличины"высота, ширина, длина" выражаютс€ в метрической системе и записываютс€ целыми или иррациональными числами. —овокупность пространственных соотношений величин, объединенных определенной композиционной зависимостью, называетс€ пропорцией. Ќо пон€тие пропорции в садово-парковом искусстве нельз€ отождествл€ть с пон€тием пропорци€ в математике. ѕропорции теснейшим образом св€заны с решение конкретных композиционных задач, обусловлены художественным вкусом и композиционным опытом автора.
— помощью художественных пропорций может быть выражена монументальность, торжественность, или, наоборот, скромность, простота. ѕропорции в садово-парковой композиции - это как бы ее внутренн€€ красота. ќна невидима непосредственно, но всегда ощутима, подобно духовной красоте человека. ¬ насто€щее врем€ художники чаще всего пользуютс€ двум€ пропорциональными соотношени€ми: модульной системой пропорций и"золотым сечением". ќсновой модульной системы проектировани€ €вл€етс€ некотора€ исходна€ величина, котора€ служит мерой всех частей композиции и называетс€ модулем. ћодуль - это не мера длины, а размер какой-либо части сооружени€. Ќапример, ширину парковой дорожки часто определ€ют по количеству бетонных плит.

http://yulechka-inspiration.blogspot.co.il/2012/11/blog-post_6512.html

—ери€ сообщений "√еометри€ и символы":
„асть 1 - «олотое сечение
„асть 2 - ѕропорции золотого сечени€
„асть 3 - »нтеллектуальные развлечени€. «олотое сечение
„асть 4 - ƒодекаэдр - завершающа€ фигура геометрии
...
„асть 30 - Ђ‘ракталы ‘абержеї на видео
„асть 31 - ”дивительные применени€ теоремы ѕифагора
„асть 32 - »носказание натюрморта

ћетки:  

ѕроцитировано 1 раз



 

ƒобавить комментарий:
“екст комментари€: смайлики

ѕроверка орфографии: (найти ошибки)

ѕрикрепить картинку:

 ѕереводить URL в ссылку
 ѕодписатьс€ на комментарии
 ѕодписать картинку