Тут Миша Вербицкий поделился фото:








Источником странных действий учителя оказались некие методические указания для обучения школьников умножению. Почитал я комментарии, понял аргументы обоих сторон и призадумался.



Суть проблемы вот в чём: есть некая методика обучения детей умножению, которая сводится к правилу: умножение это размножение одного набора предметов некоторое количество раз:

(количество предметов)×(количество раз)=(новое количество предметов).

Принципиальным моментом в этой методике является неравнозначность сомножителей (предметы vs. разы), и, соответственно, от ребёнка требуется отличать одно от другого. То есть одна и та же операция 2×9=18 может встречаться в двух разных задачах:

Девять человек купили по два литра молока, сколько литров продано?:



(2 литра молока)×(9 человек → раз)=(18 литров).



Одном литром спирта можно угостить девять человек, сколько человек можно угостить двумя литрами?:



(9 человек)×(2 литра → раза)=(18 человек).

Ещё в древних книжках по арифметике «предметы и разы» называли множимое
и множитель. Само субстантивированное прилагательное (то есть ставшее
существительным) «множимое», как бы должно нам подсказать, что именно
это мы сейчас и будем размножать с помощью множителя-кратности.



Необходимость различать два сомножителя обосновывается требованием
от ребёнка некого (возможно мифического) «понимания» процедуры операции
умножения. То есть не только перемножь числа (воспользуйся таблицей умножения), но и пойми что ты сделал —
какие предметы реплицировал, какое количество раз, и что получил
в результате.



И вот тут, мне кажется, совершается существенная методическая ошибка.
Правильность «понимания» контролируется введением для ученика нового
правила: если ты разобрался, что есть предметы, а что есть разы,
то в операции умножения первым множителем (множимым) пиши предметы,
а вторым — разы. Для учителя же вводится комплиментарное правило: если
сомножители написаны в неверном порядке, то это считается эквивалентным
тому, что «понимания» у ученика нет.



Методическая ошибка тут заключается в том, что в угоду педагогическим
целям (не обсуждаем сейчас их обоснованность) жертвуется математическая
истина — коммутативность умножения. Исправить эту ошибку можно
так: почему бы просто не обязать ученика к множителю «разам» приписывать
«(раз)», а множимому название предмета, сохраняя при этом свободу перестановки множимого и множителя:

2(литра)×9(раз) ≡ 9(раз)×2(литра).

Теперь по сути: число интуитивно понимается человеком как предикат, а не субъект.
То есть говоря «два» мы изначально имеем ввиду двойку, не как некую
сущность, а просто описательную приставку, например: «два
дерева»=2(дерева), то есть «есть деревья, их два». То есть «два» это не просто «два», а обязательно «два чего-то»: «два
алкаша»=2(алкаша), «два литра»=2(литра).



Прорывом античного сознания стало понимание, что операции над
предикатами универсальны, так появилась абстрактные числа и арифметика.



Возможно педагоги знают, что понимание этой универсальности представляет
основную трудность для ребёнка при изучении операции умножения. Для
облегчения перехода к абстрактным числам, используется уже осознаваемое
ребёнком свойство языка, что и у самих существительных может быть
предикативная функция, то есть «два литра молока»=два(литры(молока)),
то есть «есть молоко, его объём литры, их два». Таким
образом, они вводят универсальные существительные-предикаты — «разы»,
т.е. 2≡2(раза) или

2(литра)=2(1(литр))=2(раза)(1(литр)).

Эти «разы» позволяют оформлять результат алгебраических операций, как универсальный предикат. Например, из выражения

2(литра)×9 (раз)=9(литров)×2(раза)

мы переносим 1(литр) направо и получаем

2(раза)×9(раз)(1(литр))=9(раз)×2(раза)(1(литр))=18(раз)(1(литр))=18(литров),

или просто

2(раза)×9(раз)=9(раз)×2(раза)=18(раз).

То есть, строго говоря, в описанной методике обучения умножению, не смотря на все негодования комментаторов картинки, равнозначность записей 2(литра)×9 (раз) и 9 (раз)×2(литра) не имеет отношения к коммутативности умножения — это как раз просто обычный произвол определения (типа вектор в координатной записи это столбец или строка), тождество, если хотите. Коммутативность — это содержательное равенство 2(литра)×9(раз)=9(литров)×2(раза) из которого следует универсальное равенство  2(раза)×9(раз)=9(раз)×2(раза).



Моё заключение: требование к ученику в задачах типа «Девять человек купили по два литра
молока, сколько литров продано?» переводить человеков в разы, кажется
разумным, т.к. способствует выработке понимания абстрактных чисел (хотя сама методика напоминает прыжок через пропасть в два шага). Контроль за выполнением этого требования путём проверки порядка
сомножителей в алгебраической записи это грубая методическая ошибка.



Есть ещё один забавный аспект, который подчёркивается некоторыми участниками дискуссии:



Известно, что у школы есть и некие социальные функции. Тут они отражаются следующим образом: поскольку не существует естественно выделенного способа, как записывать сомножители 2(литра)×9(раз) или 9(раз)×2(литра), выбор осуществляется в духе прусской гимназии, т.е. произвольно, но строго: 9(раз) по 2(литра) оформляется как 2×9 и никак иначе.



То есть естественную свободу в выборе записи, отражающую коммутацию, ограничивают правилом, искусственно созданным для посторонних целей, и требуют его неукоснительного выполнения (отклонение карается снижением оценки на два балла). Сходство такой методики приучения к соблюдению глупых правил, придуманных взрослыми дядями, с дрессировкой кажется очевидным.