Родился 2 марта 1947 года в местечке Болдерая под Ригой.
Затем семья Юры перебралась в Ленинград.
Отец – Георгий Андрианович Богатырёв, офицер ВМФ. В 1953 году его, как одного из лучших офицеров, перевели в Москву, в распоряжение штаба МВФ.

В детстве любимым занятием будущего актёра был кукольный театр, другим увлечением – рисование.
В 1964 году, закончив восемь классов, поступил в Художественно-промышленное училище имени М.И. Калинина, чтобы стать художником по коврам.
В 1965 году стал участником детского кукольного театра «Глобус», юные актёры посещали театры, кино, музеи, вечера в Доме актёра,выступали в Домах культуры.

В 1967 году поступил в Московское Театральное училище имени Б.В. Щукина, на курс Юрия Васильевича Катина-Ярцева.
В 1971 году, после окончания Щукинского училища, был принят в труппу театра «Современник», где долго не получал серьёзных ролей. Со временем стал много играть, лучшими ролями стали герцог Орсино в «Двенадцатой ночи» по Шекспиру и Марк в пьесе Виктора Розова «Вечно живые».

В ноябре 1974 года на экраны страны вышел фильм «Свой среди чужих, чужой среди своих», в котором актёр сыграл Егора Шилова – человека, несправедливо заподозренного в предательстве и доказывающего свою невиновность. Съёмки проходили в Чечне, в горных и предгорных станицах и аулах. Местные жители, знавшие толк в лошадях и джигитовке, не раз восхищались тем, как актёр ездил верхом. В седле он держался так, как будто занимался верховой ездой всю жизнь, и с лошадью управлялся как опытный наездник.
В 1977 году Олег Ефремов пригласил Юрия Богатырёва во МХАТ. Некоторое время актёр играл в двух театрах.
В 1980 году снялся в картине «Родня», ещё одном фильме Никиты Михалкова. Сыграл роль Стасика – мешковатого растяпы, которого обманывает жена, бьёт тёща, не ставит ни в грош дочь. Но Михалков хотел, чтобы этот персонаж не был столь однозначным, чтобы это был трогательный человек, который никому не приносит зла, большой ребёнок. Богатырёв сыграл его великолепно, этот образ был внутренне ему очень близок.

Заслуженный артист РСФСР (1981).
Народный артист РСФСР (март 1988 года).
После присвоения звания Богатырёв наконец-то получил свою первую однокомнатную квартиру на улице Гиляровского в Москве. Однако прожил он в ней совсем недолго.

Жизнь Юрия Богатырёва трагически оборвалась 2 февраля 1989 года. В последние годы в его жизни особенное место занимала переводчица и редактор Кларисса Столярова, с которой они встречали Новый 1989 год, последний в жизни актёра.

Юрий Богатырёв много рисовал, писал портреты друзей, композиции на темы любимых фильмов или пьес.
В конце января он готовил первую в своей жизни персональную выставку живописи в филиале Бахрушинского музея на Тверском бульваре – отобрал работы, придумал название. Она должна была открыться в Москве 6 февраля 1989 года. Но судьба распорядилась иначе. Присутствовать на её открытии ему не довелось. В этот день состоялись его похороны.

Накануне гибели актёр получил гонорар от итальянского продюсера за фильм "Очи чёрные" и вечером 1 февраля 1989 года он собрал по этому поводу компанию в своей квартире по улице Гиляровского. Ближе к полуночи Богатырёву стало плохо с сердцем. После очередного сердечного приступа ему вызвали «скорую помощь», и фельдшер, пытаясь его спасти, ввёл ему в сердце препарат не совместимый с алкоголем. Смерть актёра наступила мгновенно.

Так, в ночь с 1 на 2 февраля 1989 года не дожив месяца до собственного сорокадвухлетия в своей крохотной московской квартире ушёл из жизни Юрий Георгиевич Богатырёв.

Похоронен актёр на Писательской аллее Ваганьковского кладбища Москвы (участок № 24).
Богатырёв всю жизнь мечтал об Обломове, а сыграл Штольца. Накануне похорон Юрия, его друзья сшили тёмно-бордовый «обломовский» халат, а затем в мастерских театра его быстро «подстарили». И положили его к актёру в гроб – прикрыли его ноги обломовским халатом, как символом его несбывшейся мечты, незавершённой жизни.

Открылась выставка уже без Юрия. В том же 1989 году, в Ленинграде. А теперь её можно увидеть в Самаре.
Так или иначе, выставка его картин стала посмертной, а роли, написанные специально для Богатырёва, воплотили на экране другие. Например, ему предназначалась роль генерала Радлова в "Сибирском цирюльнике", замысел которого возник у Никиты Михалкова ещё в восьмидесятые.

Из тайника в его квартире бесследно исчезло несколько тысяч долларов – тот самый гонорар. Не менее загадочная участь постигла и богатырёвские картины: из сотен рисунков всего восемь работ хранится в Музее Бахрушина, несколько осело у близких друзей, местонахождение остальных до сих пор неизвестно.

Актёрские байки
 

ЛУНАТИК

По ночам пятилетний Юра регулярно вставал во сне и ходил по квартире, нарядившись в шелковый халат с черными страусами на голубом фоне (картину завершала мамина шляпа с пером, вуалькой и мушками)... Потом все аккуратно снимал и как ни в чем не бывало ложился спать дальше.
   - Ведь как аккуратно вешал халат на место! - поражалась мама Юрия Богатырева Татьяна Васильевна. - Кочерга стояла рядом с халатом и не падала! Мы в таких случаях его никогда не будили и только... Потом только спросим: "Ты помнишь?" - "Нет".
   C годами этот лунатизм как-то сам собой прошел...

КРЫЛАТОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

Однажды Юрий Богатырев гостил у своих знакомых на даче под Одессой. Как-то он решил помочь хозяевам починить забор. Только он начал прибивать доску, как из-за забора высунулась соседка Фаня Наумовна и нежно, потому что она очень уважала Богатырева, сказала ему:
   - Юрочка, перестань стучать, сволочь! У меня же ребенок спит!
   Богатыреву это ужасно понравилось. И в Москве, когда ему надо было ночью утихомирить соседей, он высовывался в коридор и стыдил:
   - Перестаньте кричать, сволочи! Я же сплю!

ПРЫЖОК

 Когда снимался фильм Никиты Михалкова "Свой среди чужих, чужой среди своих" Юрию Богатыреву предложили спрыгнуть в реку с девятнадцатиметровой высоты, и он согласился. Вначале глубину реки тщательно обмеряли камнем с веревкой, и получилось очень глубоко. Когда же Юрий прыгнул, то оказалось, что камень сносило течением, а глубина была всего-то метра полтора... С такой высоты прыгать было катастрофой. К счастью, все обошлось.

ШАРЖ

 Когда Юрий Богатырев работал в тетре "Современник", они вместе с Валентином Гафтом выпускали стенгазету. Гафт был литературным редактором, а Богатырев художественным. И вот однажды Юрий сделал газету один.
   Гафт пришел, увидел новый номер, обрадовался. Стал его изучать, посмеялся над своими эпиграммами и тут наверху увиде... себя. Валентин Иосифович сразу помрачнел и сказал: "Ну, ладно. По-моему, уже все всё прочитали, пора снимать". Видимо шарж не понравился.

ПОРТРЕТ

 Как-то сидя у актера Сергея Никоненко дома, Юрий Богатырев написал его портрет. Посмотрев его, озадаченный Никоненко сказал:
   - Юра! Чего-то не очень похож-то!
   На что тот ответил:
   - Ты знаешь, наверное, потом будет похож.

СОПЛЯ

Однажды Юрий Богатырев был с друзьями в гостях у Райкиных. Кроме них там были Аркадий Исаакович, какой-то почитатель его таланта - рабочий завода, жена Райкина Руфь Марковна, работник нашего посольства в Японии. Все сидели в гостиной, а потом Аркадий Исаакович пригласил всех за стол.
   Надо сказать, что друзья Богатырева были артистами цирка и только что вернулись из гастрольной поездки по Бельгии. Там они в магазине для розыгрышей купили всяких безделушек, в том числе и искусственную соплю, которая вставлялась в нос... И вот друзья договорились... Все сели за стол, Юра Богатырев задержался в другой комнате. А тогда у него была богатая борода и усы. И вот он появляется, прерывает разговор, встает в красивую театральную позу, скрещивает руки и говорит:
   - Аркадий Исакович! Вот вы знаете, когда я последний раз посетил Париж...
   Все в недоумении. Во-первых, он прервал разговор. Во-вторых, все знают, что в Париже он никогда не был! А он продолжает:
   - В Париже я гулял долго по городу. Я был в Лувре, наконец-то увидел Джоконду...
   Юра говорит, говорит, говорит... потом делает так: "Ап-чхи!" - и вставляет это себе в нос.
   И продолжает говорить как ни в чем не бывало. И надо было видеть этих двух актеров... Как Аркадий Исаакович пытался показать Юре, что у него из носа торчит на усах! Как тот делал вид, что ничего не понимает, и чесал дальше про Лувр, про Париж и так далее...

По книге Натальи Бобровой "Юрий Богатырев не такой, как все"