-ћузыка

 -ѕодписка по e-mail

 
ѕолучать сообщени€ дневника на почту.

 -ѕоиск по дневнику

люди, музыка, видео, фото
ѕоиск сообщений в ≈лена_—едлецка€

 -–убрики

 -—татистика

—татистика LiveInternet.ru: показано количество хитов и посетителей
—оздан: 03.05.2008
«аписей: 2503
 омментариев: 2859
Ќаписано: 6609

 омментарии (0)

«олотое сечение.

ƒневник

ѕ€тница, 16 январ€ 2009 г. 15:16 + в цитатник

«олотое сечение

„еловек различает окружающие его предметы по форме. »нтерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. ‘орма, в основе построени€ которой лежат сочетание симметрии и золотого сечени€, способствует наилучшему зрительному воспри€тию и по€влению ощущени€ красоты и гармонии. ÷елое всегда состоит из частей, части разной величины наход€тс€ в определенном отношении друг к другу и к целому. ѕринцип золотого сечени€ Ц высшее про€вление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

«олотое сечение Ц гармоническа€ пропорци€

¬ математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a : b = c : d.

ќтрезок пр€мой ј¬ можно разделить на две части следующими способами:

  • на две равные части Ц ј¬ : ј— = ј¬ : ¬—;
  • на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
  • таким образом, когда ј¬ : ј— = ј— : ¬—.

ѕоследнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

«олотое сечение Ц это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относитс€ к большей части, как сама больша€ часть относитс€ к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относитс€ к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

«олотое сечение. √еометрическое изображение золотой пропорции

–ис. 1. √еометрическое изображение золотой пропорции

ѕрактическое знакомство с золотым сечением начинают с делени€ отрезка пр€мой в золотой пропорции с помощью циркул€ и линейки.

ƒеление отрезка пр€мой по золотому сечению

–ис. 2. ƒеление отрезка пр€мой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

»з точки ¬ восставл€етс€ перпендикул€р, равный половине ј¬. ѕолученна€ точка соедин€етс€ линией с точкой ј. Ќа полученной линии откладываетс€ отрезок ¬—, заканчивающийс€ точкой D. ќтрезок AD переноситс€ на пр€мую ј¬. ѕолученна€ при этом точка делит отрезок ј¬ в соотношении золотой пропорции.

ќтрезки золотой пропорции выражаютс€ бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если ј¬ прин€ть за единицу, ¬≈ = 0,382... ƒл€ практических целей часто используют приближенные значени€ 0,62 и 0,38. ≈сли отрезок ј¬ прин€ть за 100 частей, то больша€ часть отрезка равна 62, а меньша€ Ц 38 част€м.

—войства золотого сечени€ описываютс€ уравнением:

x2 Ц x Ц 1 = 0.

–ешение этого уравнени€:

—войства золотого сечени€: решение уравнени€

—войства золотого сечени€ создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонени€.

¬торое золотое сечение

Ѕолгарский журнал Ђќтечествої (є10, 1983 г.) опубликовал статью ÷ветана ÷екова- арандаша Ђќ втором золотом сеченииї, которое вытекает из основного сечени€ и дает другое отношение 44 : 56.

“ака€ пропорци€ обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

ѕостроение второго золотого сечени€

–ис. 3. ѕостроение второго золотого сечени€

ƒеление осуществл€етс€ следующим образом. ќтрезок ј¬ делитс€ в пропорции золотого сечени€. »з точки восставл€етс€ перпендикул€р —D. –адиусом ј¬ находитс€ точка D, котора€ соедин€етс€ линией с точкой ј. ѕр€мой угол ј—D делитс€ пополам. »з точки проводитс€ лини€ до пересечени€ с линией AD. “очка делит отрезок AD в отношении 56 : 44.

ƒеление пр€моугольника линией второго золотого сечени€

–ис. 4. ƒеление пр€моугольника линией второго золотого сечени€

Ќа рисунке показано положение линии второго золотого сечени€. ќна находитс€ посередине между линией золотого сечени€ и средней линией пр€моугольника.

«олотой треугольник

ƒл€ нахождени€ отрезков золотой пропорции восход€щего и нисход€щего р€дов можно пользоватьс€ пентаграммой.

«олотое сечение. ѕостроение правильного п€тиугольника и пентаграммы

–ис. 5. ѕостроение правильного п€тиугольника и пентаграммы

ƒл€ построени€ пентаграммы необходимо построить правильный п€тиугольник. —пособ его построени€ разработал немецкий живописец и график јльбрехт ƒюрер (1471...1528). ѕусть O Ц центр окружности, A Ц точка на окружности и Ц середина отрезка ќј. ѕерпендикул€р к радиусу ќј, восставленный в точке ќ, пересекаетс€ с окружностью в точке D. ѕользу€сь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. ƒлина стороны вписанного в окружность правильного п€тиугольника равна DC. ќткладываем на окружности отрезки DC и получим п€ть точек дл€ начертани€ правильного п€тиугольника. —оедин€ем углы п€тиугольника через один диагонал€ми и получаем пентаграмму. ¬се диагонали п€тиугольника дел€т друг друга на отрезки, св€занные между собой золотой пропорцией.

 аждый конец п€тиугольной звезды представл€ет собой золотой треугольник. ≈го стороны образуют угол 36∞ при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечени€.

«олотое сечение. ѕостроение золотого треугольника

–ис. 6. ѕостроение золотого
треугольника

ѕроводим пр€мую ј¬. ќт точки ј откладываем на ней три раза отрезок ќ произвольной величины, через полученную точку проводим перпендикул€р к линии ј¬, на перпендикул€ре вправо и влево от точки откладываем отрезки ќ. ѕолученные точки d и d1 соедин€ем пр€мыми с точкой ј. ќтрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получа€ точку . ќна разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечени€. Ћини€ми Ad1 и dd1 пользуютс€ дл€ построени€ Ђзолотогої пр€моугольника.

»стори€ золотого сечени€

ѕрин€то считать, что пон€тие о золотом делении ввел в научный обиход ѕифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). ≈сть предположение, что ѕифагор свое знание золотого делени€ позаимствовал у египт€н и вавилон€н. » действительно, пропорции пирамиды ’еопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы “утанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношени€ми золотого делени€ при их создании. ‘ранцузский архитектор Ће  орбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона —ети I в јбидосе и в рельефе, изображающем фараона –амзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого делени€. «одчий ’есира, изображенный на рельефе дерев€нной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого делени€.

√реки были искусными геометрами. ƒаже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур.  вадрат ѕифагора и диагональ этого квадрата были основанием дл€ построени€ динамических пр€моугольников.

«олотое сечение. ƒинамические пр€моугольники

–ис. 7. ƒинамические пр€моугольники

ѕлатон (427...347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. ≈го диалог Ђ“имейї посв€щен математическим и эстетическим воззрени€м школы ѕифагора и, в частности, вопросам золотого делени€.

¬ фасаде древнегреческого храма ѕарфенона присутствуют золотые пропорции. ѕри его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. ¬ ѕомпейском циркуле (музей в Ќеаполе) также заложены пропорции золотого делени€.

јнтичный циркуль золотого сечени€

–ис. 8. јнтичный циркуль золотого сечени€

¬ дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминаетс€ в ЂЌачалахї ≈вклида. ¬о 2-й книге ЂЌачалї даетс€ геометрическое построение золотого делени€ ѕосле ≈вклида исследованием золотого делени€ занимались √ипсикл (II в. до н.э.), ѕапп (III в. н.э.) и др. ¬ средневековой ≈вропе с золотым делением познакомились по арабским переводам ЂЌачалї ≈вклида. ѕереводчик ƒж.  ампано из Ќаварры (III в.) сделал к переводу комментарии. —екреты золотого делени€ ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. ќни были известны только посв€щенным.

¬ эпоху ¬озрождени€ усиливаетс€ интерес к золотому делению среди ученых и художников в св€зи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Ћеонардо да ¬инчи, художник и ученый, видел, что у италь€нских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. ќн задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это врем€ по€вилась книга монаха Ћуки ѕачоли, и Ћеонардо оставил свою затею. ѕо мнению современников и историков науки, Ћука ѕачоли был насто€щим светилом, величайшим математиком »талии в период между ‘ибоначчи и √алилеем. Ћука ѕачоли был учеником художника ѕьеро делла ‘ранчески, написавшего две книги, одна из которых называлась Ђќ перспективе в живописиї. ≈го считают творцом начертательной геометрии.

Ћука ѕачоли прекрасно понимал значение науки дл€ искусства. ¬ 1496 г по приглашению герцога ћоро он приезжает в ћилан, где читает лекции по математике. ¬ ћилане при дворе ћоро в то врем€ работал и Ћеонардо да ¬инчи. ¬ 1509 г. в ¬енеции была издана книга Ћуки ѕачоли ЂЅожественна€ пропорци€ї с блест€ще выполненными иллюстраци€ми, ввиду чего полагают, что их сделал Ћеонардо да ¬инчи.  нига была восторженным гимном золотой пропорции. —реди многих достоинств золотой пропорции монах Ћука ѕачоли не преминул назвать и ее Ђбожественную сутьї как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух св€той (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок Ц бога отца, а весь отрезок Ц бога духа св€того).

Ћеонардо да ¬инчи также много внимани€ удел€л изучению золотого делени€. ќн производил сечени€ стереометрического тела, образованного правильными п€тиугольниками, и каждый раз получал пр€моугольники с отношени€ми сторон в золотом делении. ѕоэтому он дал этому делению название золотое сечение. “ак оно и держитс€ до сих пор как самое попул€рное.

¬ то же врем€ на севере ≈вропы, в √ермании, над теми же проблемами трудилс€ јльбрехт ƒюрер. ќн делает наброски введени€ к первому варианту трактата о пропорци€х. ƒюрер пишет. ЂЌеобходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаютс€. Ёто € и вознамерилс€ сделатьї.

—уд€ по одному из писем ƒюрера, он встречалс€ с Ћукой ѕачоли во врем€ пребывани€ в »талии. јльбрехт ƒюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. ¬ажное место в своей системе соотношений ƒюрер отводил золотому сечению. –ост человека делитс€ в золотых пропорци€х линией по€са, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижн€€ часть лица Ц ртом и т.д. »звестен пропорциональный циркуль ƒюрера.

¬еликий астроном XVI в. »оган  еплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. ќн первый обращает внимание на значение золотой пропорции дл€ ботаники (рост растений и их строение).

 еплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себ€ Ђ”строена она так, Ц писал он, Ц что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорци€ сохран€етс€ до бесконечностиї.

ѕостроение р€да отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличени€ (возрастающий р€д), так и в сторону уменьшени€ (нисход€щий р€д).

≈сли на пр€мой произвольной длины, отложить отрезок m, р€дом откладываем отрезок M. Ќа основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восход€щего и нисход€щего р€дов

«олотое сечение. ѕостроение шкалы отрезков золотой пропорции

–ис. 9. ѕостроение шкалы отрезков золотой пропорции

¬ последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы Ђвместе с водой выплеснули и ребенкаї. ¬новь Ђоткрытої золотое сечение было в середине XIX в. ¬ 1855 г. немецкий исследователь золотого сечени€ профессор ÷ейзинг опубликовал свой труд ЂЁстетические исследовани€ї. — ÷ейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает €вление как таковое, без св€зи с другими €влени€ми. ќн абсолютизировал пропорцию золотого сечени€, объ€вив ее универсальной дл€ всех €влений природы и искусства. ” ÷ейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объ€вили его учение о пропорци€х Ђматематической эстетикойї.

«олотое сечение. «олотые пропорции в част€х тела человека

–ис. 10. «олотые пропорции в част€х тела человека

«олотое сечение. «олотые пропорции в фигуре человека

–ис. 11. «олотые пропорции в фигуре человека

÷ейзинг проделал колоссальную работу. ќн измерил около двух тыс€ч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. ƒеление тела точкой пупа Ц важнейший показатель золотого сечени€. ѕропорции мужского тела колеблютс€ в пределах среднего отношени€ 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подход€т к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражаетс€ в соотношении 8 : 5 = 1,6. ” новорожденного пропорци€ составл€ет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равн€етс€ мужской. ѕропорции золотого сечени€ про€вл€ютс€ и в отношении других частей тела Ц длина плеча, предплечь€ и кисти, кисти и пальцев и т.д.

—праведливость своей теории ÷ейзинг провер€л на греческих стату€х. Ќаиболее подробно он разработал пропорции јполлона Ѕельведерского. ѕодверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружени€ различных эпох, растени€, животные, птичьи €йца, музыкальные тона, стихотворные размеры. ÷ейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражаетс€ в отрезках пр€мой и в цифрах.  огда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, ÷ейзинг увидел, что они составл€ют р€д ‘ибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. —ледующа€ его книга имела название Ђ«олотое деление как основной морфологический закон в природе и искусствеї. ¬ 1876 г. в –оссии была издана небольша€ книжка, почти брошюра, с изложением этого труда ÷ейзинга. јвтор укрылс€ под инициалами ё.‘.¬. ¬ этом издании не упом€нуто ни одно произведение живописи.

¬ конце XIX Ц начале XX вв. по€вилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечени€ в произведени€х искусства и архитектуры. — развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечени€ распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

–€д ‘ибоначчи

„итать далее...
–убрики:  Ќј” ј » “≈’Ќ» ј.
‘»Ћќ—ќ‘»я.
ѕрирода.
это интересно...

ћетки:  

 —траницы: [1]