Недавно прочитал книгу, которая меня вдохновила. Вдохновила на продолжение занятий наукой. Эта книга - биография супругов Кюри. Вообще, супруги Кюри всегда были для меня кумирами в научной области, эти люди совершили прорыв в области ядерной физики. Можно сказать, они были родоначальниками современной ядерной физики. Мария Склодовская-Кюри вместе с мужем своими руками обработали 8 тонн радиоактивной урановой руды. Они с Пьером смогли выделить из этой руды радий и полоний, за что получили вторую нобелевскую премию по химии в 1911 году. Первая премия была присуждена им по физике в 1903 году за изучение радиоактивности. Эти люди обладали чертовским трудолюбием и любовью к делу, которым занимались! Их пример оказался для меня очень заразителен, и сейчас у меня появились новые силы для изучения простых чисел.
Сегодня, в наш компьютерный век, работать с числовой информацией стало гораздо проще. Свои разработки в области простых чисел я начал, когда учился в 6 классе. Тогда у меня не было компьютера и все вычисления я выполнял в лучшем случае с помощью калькулятора. Мною были обработаны 15687 чисел натурального ряда вручную. То есть в тетради. Я писал числа, потом выполнял ряд вычислений, ненужные числа зачёркивал. Работа была муторная, я занимался этим несколько лет. Потом на какое-то время прекратил работы. И сейчас снова вернулся к ним. Сейчас у меня есть компьютер, и это позволяет мне работать с числами более высокого порядка. Чтобы не терять время, я включился в программу распределённых вычислений по поиску простых чисел Мерсена. Одновременно с этим, я работаю с натуральным рядом. На данный момент обрабатываю диапазон от 1 до 16777216, заканчиваю проверять делитель 11. Впереди ещё много работы, и я уверен, что скоро мне придётся искать новые алгоритмы, усовершенствовать метод Эратосфена, ибо использование его в диапазонах больших экспонент (говоря языком теории Мерсена) весьма затруднительно.
Сейчас я так же занят разработкой метода анализа ряда простых чисел. Думаю над тем, какие величины могли бы его характеризовать. На ум почему-то приходит аналогии с исследованиями супругов Кюри - они тоже шли по пути догадок и экспериментов. И этот путь оказался верным. Думаю, что при должном количестве усилий и у меня что-нибудь получится.

Это мой третий пост по простым числам. Собственно, сегодня мне бы хотел подвести некий итог проделанной работы, чтобы двигаться дальше.
Я по-прежнему убеждён, что ряд простых чисел носит остаточный характер и разгадка их великой тайны, несомненно, связана с этим фактом. Об этом я писал постом ранее. Второй факт, обнаруженный учёными, и, вобщем-то, наглядно подтверждённый мной - плотность простых чисел внутри натурального ряда на отрезке снижается - как локально, так и глобально. Чтобы не быть голословным, приведу доказательства:




Сравним локальные показатели. Я специально взял только 1 и 6 страницы, чтобы различия были наиболее наглядны. Обратим внимание на строки 1, 4 и 5 анализа. На первой странице зафиксировано 87 простых чисел, на 6 странице - уже 59. Можно с уверенностью говорить о том, что тенденция к снижению этого показателя будет иметь место и в дальнейшем. Однако существуют области натурального ряда, где это, казалось бы, логичное правило, даёт сбой. Если обратить внимание на страницу 5:


то можно заметить, что простых чисел на промежутке 1801-2250 выявлено меньше, чем на промежутке 2251-2700 (об этом же говорят показатели 1/3 на страницах 5 и 6, показывающие отношение количества простых чисел на странице к количеству чисел натурального ряда на странице - 12,4% против 13,1%). Давайте-ка проанализируем ситуацию.
Как известно, чтобы найти простые числа на отрезке натурального ряда от 1 до N, не обязательно делать проверку кратности по простым основаниям от 2 до последнего простого перед N, достаточно брать числа от 2 до последнего простого перед квадратным корнем из N. Если мы рассмотрим страницы 5 и 6, то увидим, что корни из N для этих страниц соответственно равны 47,43 и 51,96, последние простые числа перед ними соответственно 47 и 47 (в данном случае совпадают). Тогда следует логичный вопрос: если при вычёркивании было задействовано одинаковое количество оснований кратности, почему же на данных участках количества простых чисел различны? В обоих случаях мы брали интервал в 450 чисел натурального ряда. Казалось бы - вычеркнули равные доли чисел, в чём же проблема. Здесь стоит учитывать ещё одно влияние - отношение максимального основания кратности к диапазону. Диапазон всего постоянен - 450, а вот максимальное основание кратности увеличивается с каждой страницей. Следовательно, должен существовать такой предел этого отношения, после которого мы будем наблюдать эту своеобразную инверсию в количестве значений. Я склонен предположить, что это отношение не должно превышать 10%. В дальнейшем мы продолжим искать страницы с инверсией. Сейчас это 6 страница, страница, на которой был пройден предел отношения максимального основания кратности к диапазону (далее отношение 7/3) была под номером 5. То есть номер инверсной страницы на единицу больше номера страницы, где был пройден порог отношения 7/3 в 10%. Поясню, к чему такая привязка к предыдущей странице. Отношения 7/3 для 5 и шестой страницы оказались равными и составили 10,4%, но инверсия была выявлена лишь на 6 странице.
Чтобы проверить вышевысказанную теорию, я решил разбить натуральный ряд на интервалы в 2 страницы (900 чисел натурального ряда) и проверить отношение 7/3 уже по 2-страничному интервалу. Из 6 страниц получим 3 значения отношения 7/3: 3,2%, 4,6%, 5,2%. Я провёл расчёты. По моим предположениям, инверсия по интервалу 900 чисел должна наступить на 23-24 страницах. Пока что количество простых чисел на отрезке 900 стабильно уменьшается без инверсий. На 21-22 странице должен быть пройден порог отношения 7/3 в 10% и на 23-24 странице должна быть обнаружена инверсия.
Что ж, будем надеяться, что моя теория подтвердится. Для этого нужно продолжить исследование до числа 10800.

Итак, прошлый раз я успел познакомить своего читателя с понятием простого числа и способами их получения из натурального ряда.
Прежде всего хотелось бы заметить, что сложность изучения простых чисел состоит в том, что они не подчиняются какой-либо закономерности, поэтому чтобы наглядно увидеть их свойства, приходится работать с огромными интервалами натурального ряда, и на каждом интервале эти свойства меняются.
Так же очевидно, что последовательность простых чисел меняется с появлением каждого нового члена. Скорее всего это объясняется остаточным характером данного ряда. Он не строится и не задаётся конкретной формулой, он состоит из тех членов натурального ряда, которые остались после извлечения из него рядов, состоящих из членов, кратных простым числам. Таким образом, мы можем предположить, что сумма ряда простых чисел представляет собой разность между натуральным рядом и суммой рядов, образованных числами, кратными простым...

Сейчас я начал писать книгу об исследовании простых чисел. Думаю, в ней будут выложены все мысли по поводу данного исследования, буду приведены конкретные форумлы, выведеные различными учёными, а так же мои собственные.

Решил в своём дневнике начать выкладывать давно пылящиеся на полке у меня дома разработки в области теории чисел. Подумал, что наверняка здесь найдутся люди, которые смогут мне помочь или посоветовать что-нибудь в моих трудах. По крайней мере я искренне расчитываю на вашу помощь.
Теорией чисел я занимаюсь довольно давно, уже несколько лет. Основная задача, над которой я потею все эти годы - нахождение простых чисел. Задача стара как мир, однако до сих пор представляет интерес для науки. В чём же особенность и суть этой задачи? Постараюсь объяснить.
Что такое простое число? Простое число - число, имеющая два делителя (то есть делится без остатка только на 2 числа) - единицу и само себя. Самое интересное, что эти числа не образуют какой-то конкретной последовательности. Нет общей формулы, чтобы их найти. Существует совокупность формул, дающих возможность найти отдельные числа или форумлы, верные лишь при определённых значениях аргумента, однако нет той форумлы, которая бы при любых значениях аргумента давала бы в качестве значения функции простое число.
На сегодняшний день оптимальным алгоритмом нахождения простых чисел является т. н. решето Эратосфена. Суть его в следующем: для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:
1. Выписать подряд все целые числа от двух до n (2, 3, 4, …, n).
2. Пусть переменная p изначально равна двум — первому простому числу.
3. Вычеркнуть из списка все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p, 3p, 4p, …)
4. Найти первое невычеркнутое число, большее чем p, и присвоить значению переменной p это число.
5. Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n
6. Все невычеркнутые числа в списке — простые числа.
На практике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом. На шаге №3, числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p2 (в квадрате), потому что все составные числа меньше его уже будут вычернуты к этому времени. И, соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p2 станет больше, чем n.
Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:
Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.
Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.
Известная теорема о распределении простых чисел утверждает, что количество простых чисел меньших n, обозначаемое π(n), растёт как n / ln(n).

Вот, в общем-то, краткая информация о простых числах. Что касаемо моего исследования, то сейчас я разрабатываю электронные таблицы простых чисел вместо тех, что у меня были ранее - я делал рукописные, и, надо сказать, вплотную подобрался к 20 тысяче натурального ряда. Думаю, на компьюетере дело пойдёт быстрее.
Обо всех результатах и процессе ведения буду писать здесь.
И я очень надеюсь найти людей, которые разделят мой интерес!